Question

8．函数f（x）=2ax²-2bx-a+b（a，b∈R，a＞0），g（x）=2ax-2b
（1）若$θ∈[{0，\frac{π}{2}}]$时，求f（sinθ）的最大值；
（2）设a＞0时，若对任意θ∈R，都有|f（sinθ）|≤1恒成立，且g（sinθ）的最大值为2，求f（x）的表达式．

Answer 1

分析 （1）令sinθ=t∈[0，1]，问题等价于求f（t）=2at²-2bt-a+b在t∈[0，1]的最大值，由二次函数区间的最值可得；
（2）令sinθ=t∈[-1，1]，由恒成立和最大值可得可得二次函数的顶点坐标为（0，-1），进而可得ab的值，可得解析式．

解答 解：（1）令sinθ=t∈[0，1]，问题等价于求f（t）=2at²-2bt-a+b在t∈[0，1]的最大值，
∵a＞0，抛物线开口向上，二次函数的对称轴$t=\frac{b}{2a}$，
由二次函数区间的最值可得$f{（x）_{max}}=\left\{\begin{array}{l}f（1）=a-b（b≤a）\\ f（0）=b-a（b＞a）\end{array}\right.=|a-b|$
（2）令sinθ=t∈[-1，1]，则|f（t）|≤1可推得|f（0）|≤1，|f（1）|≤1，|f（-1）|≤1，
∵a＞0，∴g（sinθ）_max=g（1）=2，而g（1）=2a-2b=2
而f（0）=b-a=-1而t∈[-1，1]时，|f（t）|≤1，即-1≤f（t）≤1，
结合f（0）=-1可知二次函数的顶点坐标为（0，-1）
∴b=0，a=1，∴f（x）=2x²-1．

点评 本题考查二次函数的性质，涉及三角换元和等价转化，属中档题．