Question

17．在边长为1的菱形ABCD中，∠A=$\frac{2π}{3}$，若点P为对角线AC上一点，则$\overrightarrow{PB}$•$\overrightarrow{PD}$的最大值为-$\frac{1}{2}$．

Answer 1

分析 由题意可得△ABC、△ACD都是等边三角形，AP∈[0，1]，再利用两个向量的加减法及其几何意义求得$\overrightarrow{PB}$•$\overrightarrow{PD}$=${（AP-\frac{1}{2}）}^{2}$-$\frac{3}{4}$，再利用二次函数的性质求得$\overrightarrow{PB}$•$\overrightarrow{PD}$的最大值．

解答 解：由题意可得△ABC、△ACD都是等边三角形，∠PAB=∠PAD=$\frac{π}{3}$，AP∈[0，1]，
则$\overrightarrow{PB}$•$\overrightarrow{PD}$=（$\overrightarrow{AB}$-$\overrightarrow{AP}$）•（$\overrightarrow{AD}$-$\overrightarrow{AP}$）=${\overrightarrow{AP}}^{2}$-$\overrightarrow{AP}$（$\overrightarrow{AB}$+$\overrightarrow{AD}$）+$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AD}$=${\overrightarrow{AP}}^{2}$-$\overrightarrow{AP}•\overrightarrow{AC}$+1×1cos∠BAD
=AP²-AP-$\frac{1}{2}$=${（AP-\frac{1}{2}）}^{2}$-$\frac{3}{4}$，
故当AP=0或AP=1时，$\overrightarrow{PB}$•$\overrightarrow{PD}$的最大值为-$\frac{1}{2}$，
故答案为：$-\frac{1}{2}$．

点评 本题主要考查两个向量的加减法及其几何意义，两个向量的数量积的定义，二次函数的性质，属于基础题．