Question

6．如图1，圆O的半径为2，AB，CE均为该圆的直径，弦CD垂直平分半径OA，垂足为F，沿直径AB将半圆ACB所在平面折起，使两个半圆所在的平面互相垂直（如图2）
（Ⅰ）求四棱锥C-FDEO的体积
（Ⅱ）如图2，在劣弧BC上是否存在一点P（异于B，C两点），使得PE∥平面CDO？若存在，请加以证明；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）在图1中由平面几何知识求出梯形FDEO的面积，再由图2证得CF⊥平面ADE，并求出FE，然后代入棱锥的体积公式得答案；
（Ⅱ）取劣弧BC的中点，利用三角形中的边角关系证得四边形CDEP为平行四边形，再由线面平行的判定得答案．

解答 解：（Ⅰ）如图1，∵弦CD垂直平分半径OA，半径为2，
∴CF=DF，OF=$\frac{1}{2}OC=1$，
∴在Rt△COF中有∠COF=60°，CF=DF=$\sqrt{3}$，
∵CE为直径，∴DE⊥CD，
∴OF∥DE，DE=2OF=2，
∴${S}_{梯形FDEO}=\frac{1}{2}（OF+DE）•DF=\frac{3}{2}\sqrt{3}$，
图2中，平面ACB⊥平面ADE，平面ACB∩平面ADE=AB，
又CF⊥AB，CF?平面ACB，
∴CF⊥平面ADE，则CF是四棱锥C-FDEO的高，
∴${V}_{C-FDEO}=\frac{1}{3}{S}_{梯形FDEO}•CF=\frac{3}{2}$．
（Ⅱ）在劣弧BC上是存在一点P（劣弧BC的中点），使得PE∥平面CDO．
证明：分别连接PE，CP，OP，
∵点P为劣弧BC弧的中点，∴$∠COP=\frac{1}{2}∠COB$，
∵∠COF=60°，∴∠COP=60°，则△COP为等边三角形，
∴CP∥AB，且$CP=\frac{1}{2}AB$，又∵DE∥AB且DE=$\frac{1}{2}AB$，
∴CP∥DE且CP=DE，
∴四边形CDEP为平行四边形，
∴PE∥CD，
又PE?面CDO，CD?面CDO，
∴PE∥平面CDO．

点评 本题以空间几何体的翻折为背景，考查空间几何体的体积，考查空间点、线、面的位置关系、线面平行及线面垂直等基础知识，考查空间想象能力，求解运算能力和推理论证能力，考查数形结合，化归与数学转化等思想方法，是中档题．