Question

16．已知PA⊥平面ABCD，CD⊥AD，BA⊥AD，CD=AD=AP=4，AB=2．
（1）求证：CD⊥平面ADP；
（2）若M为线段PC上的点，当BM⊥PC时，求三棱锥B-APM的体积．

Answer 1

分析 （1）利用平面与平面垂直的判定定理证明平面ADP⊥平面ABCD，然后利用性质定理证明CD⊥平面ADP．
（2）取CD的中点F，连接BF，求得BP，所以BC=BP．在平面PCD中过点M作MQ∥DC交DP于Q，连接QB，QA，
利用等体积法转化求解即可．

解答 （1）证明：因为PA⊥平面ABCD，PA?平面ADP，
所以平面ADP⊥平面ABCD．…（2分）
又因为平面ADP∩平面ABCD=AD，CD⊥AD，
所以CD⊥平面ADP．…（4分）
（2）取CD的中点F，连接BF，
在梯形ABCD中，因为CD=4，AB=2，
所以BF⊥CD．
又BF=AD=4，所以BC=$2\sqrt{5}$．
在△ABP中，由勾股定理求得BP=$2\sqrt{5}$．
所以BC=BP．…（7分）
又知点M在线段PC上，且BM⊥PC，
所以点M为PC的中点．…（9分）
在平面PCD中过点M作MQ∥DC交DP于Q，连接QB，QA，
 则V_{三棱锥B-APM}=V_{三棱锥M-APB}=V_{三棱锥Q-APM}=V_{三棱锥B-APQ}=$\frac{1}{3}×（\frac{1}{2}×4×2）×2$=$\frac{8}{3}$…（12分）

点评 本题考查平面与平面垂直的判定定理以及性质定理的应用，几何体的体积的求法，考查空间想象能力以及计算能力转化思想的应用．