Question

7．如图：$\widehat{BCD}$是直径为$2\sqrt{2}$的半圆，O为圆心，C是$\widehat{BD}$上一点，且$\widehat{BC}=2\widehat{CD}$．DF⊥CD，且DF=2，$BF=2\sqrt{3}$，E为FD的中点，Q为BE的中点，R为FC上一点，且FR=3RC．
（Ⅰ）求证：面BCE⊥面CDF；
（Ⅱ）求证：QR∥平面BCD；
（Ⅲ）求三棱锥F-BCE的体积．

Answer 1

分析 （Ⅰ）证明BD⊥DF，DF⊥BC，利用直线与平面垂直的判定定理证明BC⊥平面CFD，然后证明面BCE⊥面CDF．
（Ⅱ）连接OQ，通过证明RQ∥OM，然后证明QR∥平面BCD．
（Ⅲ）利用v_F-BCE=v_F-BCD-v_E-BCD求解几何体的体积即可．

解答 （本小题满分12分）
证明：（Ⅰ）∵DF=2，$BF=2\sqrt{3}$，$BD=2\sqrt{2}$，∴BF²=BD²+DF²，
∴BD⊥DF----------------------（1分）
又DF⊥CD，∴DF⊥平面BCD----------------------（2分）
∴DF⊥BC，
又BC⊥CD，∴BC⊥平面CFD，----------------------（3分）
∵BC?面BCE
∴面BCE⊥面CDF．----------------------（4分）
（Ⅱ）连接OQ，在面CFD内过R点做RM⊥CD，
∵O，Q为中点，∴OQ∥DF，且$OQ=\frac{1}{2}DE$-----------------（5分）
∵DF⊥CD∴RM∥FD，----------------------（6分）
又FR=3RC，∴$\frac{RM}{DF}=\frac{CR}{CF}=\frac{1}{4}$，∴$RM=\frac{1}{4}DF$，
∵E为FD的中点，∴$RM=\frac{1}{2}DE$．----------------------（7分）
∴OQ∥RM，且OQ=RM
∴OQRM为平行四边形，∵RQ∥OM----------------------（8分）
又RQ?平面BCD，OM?平面BCD，∴QR∥平面BCD．---------------------（9分）
（Ⅲ）∵$\widehat{BC}=2\widehat{CD}$，∴∠DBC=30°，∴在直角三角形BCD中有$CD=\sqrt{2}$，$BC=\sqrt{6}$，
∴${v_{F-BCE}}={v_{F-BCD}}-{v_{E-BCD}}=\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×\sqrt{6}×\sqrt{2}×2-\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×\sqrt{6}×\sqrt{2}×1=\frac{{\sqrt{3}}}{3}$--------（12分）

点评 本题考查直线与平面垂直的判定定理的应用直线与平面平行的判定定理以及几何体的体积的求法，考查空间想象能力以及逻辑推理计算能力．