Question

19．如图，在五面体ABCDEF中，AB∥CD∥EF，CD=EF=CF=2AB=2AD=2，∠DCF=60°，AD⊥CD，平面CDEF⊥平面ABCD．
（1）求异面直线BE与CF所成角的余弦值；
（2）证明：直线CE⊥平面ADF；
（3）已知P为棱BC上的点，且二面角P-DF-A为60°，求PE的长．

Answer 1

分析 （1通过证明GD⊥EF，通过GD⊥平面ABCD，以D为原点，DA，DC，DG的方向为x，y，z轴，建立空间直角坐标系
求出异面直线BE与CF对应的向量．利用空间向量数量积求解即可．
（2）证明CE⊥DA，CE⊥DF，利用直线与平面垂直的判定定理证明直线CE⊥平面ADF．
（3）设P（a，2-a，0）（0＜a≤1），求出平面PDF的法向量，通过二面角P-DF-A为60°，通过二面角求出a，然后求解，PE．

解答 （1）解：∵CD∥EF，CD=EF=CF=2∴四边形CDEF为菱形，
∵∠DCF=60°，∴△DEF为正三角形，取EF的中点G，连接GD，则GD⊥EF
∴GD⊥CD，∵平面CDEF⊥平面ABCD，GD?平面CDEF，CD=平面CDEF∩平面ABCD，
∴GD⊥平面ABCD
∵AD⊥CD∴DA，DC，DG两两垂直…（2分）
以D为原点，DA，DC，DG的方向为x，y，z轴，建立空间直角坐标系

∵CD=EF=CF=2，AB=AD=1，
∴$A（1，0，0），\;B（1，1，0），\;C（0，2，0），\;E（0，-1，\sqrt{3}），\;F（0，1，\sqrt{3}）$…（3分）
∴$\overrightarrow{BE}=（-1，-2，\sqrt{3}），\;\overrightarrow{CF}=（0，-1，\sqrt{3}）$，
设异面直线BE与CF所成角为α
则$cosα=|cos＜\overrightarrow{BE}，\overrightarrow{CF}＞|=\frac{{|\overrightarrow{BE}•\overrightarrow{CF}|}}{{|\overrightarrow{BE}||\overrightarrow{CF}|}}=\frac{5}{{\sqrt{8}\sqrt{4}}}=\frac{{5\sqrt{2}}}{8}$…（5分）
（2）证明：∵$\overrightarrow{DA}=（1，0.0），\;\overrightarrow{DF}=（0，1，\sqrt{3}），\;\overrightarrow{CE}=（0，-3，\sqrt{3}）$
∴$\overrightarrow{CE}•\overrightarrow{DA}=0，\;\overrightarrow{CE}•\overrightarrow{DF}=0$∴CE⊥DA，CE⊥DF…（7分）
∵DA，DF是平面ADF内的两条相交直线
∴直线CE⊥平面ADF…（8分）
（3）解：依题意可设P（a，2-a，0）（0＜a≤1），平面PDF的法向量为$\vec n=（x，y，z）$
，∴$\left\{\begin{array}{l}y+\sqrt{3}z=0\\ ax+（2-a）y=0\end{array}\right.$，令$y=\sqrt{3}a$，则$x=\sqrt{3}（a-2），\;z=-a$
∴$\vec n=（\sqrt{3}（a-2），\;\sqrt{3}a，\;-a）$…（10分）
∵二面角P-DF-A为60⁰，$\overrightarrow{CE}=（0，-3，\sqrt{3}）$是平面ADF的法向量
∴$|cos＜\overrightarrow{n}，\overrightarrow{CE}＞|=\frac{|\overrightarrow{n}•\overrightarrow{CE}|}{|\overrightarrow{n}\left|\right|\overrightarrow{CE}|}$=$\frac{1}{2}$，解得$a=\frac{2}{3}$…（12分）
∴$P（\frac{2}{3}，\frac{4}{3}，0）$，∴$PE=\sqrt{{{（{\frac{2}{3}-0}）}^2}+{{（{\frac{4}{3}+1}）}^2}+{{（{0-\sqrt{3}}）}^2}}=\frac{{4\sqrt{5}}}{3}$…（13分）

点评 本题考查二面角的平面角的应用，直线余平米垂直的判定定理的应用，空间两点间的距离公式的应用，考查空间想象能力以及计算能力．