Question

9．在直角坐标系xOy中，曲线C₁的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=2co{s}^{2}α}\\{y=sin2α}\end{array}\right.$（α是参数），以原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C₂的极坐标方程为ρ=$\frac{1}{sinθ-cosθ}$．
（1）求曲线C₁的普通方程和曲线C₂的直角坐标方程；
（2）求曲线C₁上的任意一点P到曲线C₂的最小距离，并求出此时点P的坐标．

Answer 1

分析 （1）曲线C₁的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=2co{s}^{2}α}\\{y=sin2α}\end{array}\right.$（α是参数），x=2cos²α=1+cos2α，利用cos²2α+sin²2α=1即可得出．
曲线C₂的极坐标方程为ρ=$\frac{1}{sinθ-cosθ}$，化为ρsinθ-ρcosθ=1，利用$\left\{\begin{array}{l}{x=ρcosθ}\\{y=ρsinθ}\end{array}\right.$即可得出．
（2）设与曲线C₂平行且与曲线C₁的直线方程为y=x+t，代入圆的方程可得：2x²+2（t-1）x+t²=0，利用△=0，解得t．利用平行线之间的距离公式可得最小距离，进而得出点P．

解答 解：（1）曲线C₁的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=2co{s}^{2}α}\\{y=sin2α}\end{array}\right.$（α是参数），x=2cos²α=1+cos2α，∴（x-1）²+y²=1．
曲线C₂的极坐标方程为ρ=$\frac{1}{sinθ-cosθ}$，化为ρsinθ-ρcosθ=1，∴y-x=1，即x-y+1=0．
（2）设与曲线C₂平行且与曲线C₁的直线方程为y=x+t，代入圆的方程可得：2x²+2（t-1）x+t²=0，∵△=4（t-1）²-8t²=0，化为t²+2t-1=0，解得$t=-1±\sqrt{2}$．
取t=$\sqrt{2}$-1，直线y=x+1与切线$y=x+\sqrt{2}-1$的距离d=$\frac{|\sqrt{2}-2|}{\sqrt{2}}$=$\sqrt{2}$-1，即为曲线C₁上的任意一点P到曲线C₂的最小距离．
此时2x²+2（t-1）x+t²=0，化为$[\sqrt{2}x-（\sqrt{2}-1）]^{2}$=0，解得x=$\frac{\sqrt{2}-1}{\sqrt{2}}$=$\frac{2-\sqrt{2}}{2}$，y=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，∴P$（\frac{2-\sqrt{2}}{2}，\frac{\sqrt{2}}{2}）$．

点评 本题考查了参数方程化为普通方程、极坐标方程化为直角坐标方程、直线与圆相切转化为△=0、平行线之间的距离公式、点到直线的距离公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．