Question

4．设F（n）=a₁-a₂C_n¹+a₃C_n²-a₄C_n³+…+（-1）ⁿa_n+1C_nⁿ（n≥2，n∈N^*）．
（1）若数列{a_n}的各项均为1，求证：F（n）=0；
（2）若对任意大于等于2的正整数n，都有F（n）=0恒成立，试证明数列{a_n}是等差数列．

Answer 1

分析 （1）利用数列{a_n}的各项均为1，结合二项式定理，即可证明结论；
（2）利用数学归纳法进行证明即可．

解答 证明：（1）因数列{a_n}满足各项为1，即$F（n）=C_n^0-C_n^1+C_n^2-C_n^3+…+{（-1）^n}C_n^n$，
由${（1+x）^n}=C_n^0+C_n^1x+C_n^2{x^2}+C_n^3{x^3}+…+C_n^n{x^n}$，令x=-1，
则$0=C_n^0-C_n^1+C_n^2-C_n^3+…+{（-1）^n}C_n^n$，即F（n）=0..…（3分）
（2）当n=2时，$F（2）={a_1}-{a_2}C_2^1+{a_3}C_2^2=0$，即2a₂=a₁+a₃，所以数列{a_n}的前3项成等差数列．
假设当n=k时，由$F（k）={a_1}-{a_2}C_k^1+{a_3}C_k^2-{a_4}C_k^3+…+{（-1）^k}{a_{k+1}}C_k^k=0$，可得数列{a_n}的前k+1项成等差数列，…（5分）
因对任意大于等于2的正整数n，都有F（n）=0恒成立，所以F（k+1）=0成立，
所以$\left\{\begin{array}{l}{a_1}-{a_2}C_k^1+{a_3}C_k^2-{a_4}C_k^3+…+{（-1）^k}{a_{k+1}}C_k^k=0\\{a_1}-{a_2}C_{k+1}^1+{a_3}C_{k+1}^2-{a_4}C_{k+1}^3+…+{（-1）^{k+1}}{a_{k+2}}C_{k+1}^{k+1}=0\end{array}\right.$，
两式相减得，$-{a_2}（C_{k+1}^1-C_k^1）+{a_3}（C_{k+1}^2-C_k^2）+…+{（-1）^k}{a_{k+1}}（C_{k+1}^k-C_k^k）+{（-1）^{k+1}}{a_{k+2}}C_{k+1}^{k+1}=0$，
因$C_{n+1}^{m+1}=C_n^{m+1}+C_n^m$，
所以$-{a_2}C_k^0+{a_3}C_k^1-{a_4}C_k^2+…+{（-1）^k}{a_{k+1}}C_k^{k-1}+{（-1）^{k+1}}{a_{k+2}}C_k^k=0$，
即${a_2}C_k^0-{a_3}C_k^1+{a_4}C_k^2+…+{（-1）^{k-1}}{a_{k+1}}C_k^{k-1}+{（-1）^k}{a_{k+2}}C_k^k=0$，
由假设可知a₂，a₃，a₄，…，a_k+1，a_k+2也成等差数列，从而数列{a_n}的前k+2项成等差数列．
综上所述，若F（n）=0对任意n≥3恒成立，则数列{a_n}是等差数列．…（10分）

点评 本题考查二项式定理的运用，考查数学归纳法，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．