Question

19．在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB=AC，BB₁=BC，点P，Q，R分别是棱BC，CC₁，B₁C₁的中点．
（1）求证：A₁R∥平面APQ；
（2）求证：平面APQ⊥平面AB₁C．

Answer 1

分析 （1）通过证明四边形APRA₁是平行四边形，推出AP∥A₁R，然后利用直线与平面平行的判定定理证明A₁R∥平面APQ．
（2）说明B₁C⊥BC₁，证明B₁C⊥PQ．然后证明BB₁⊥AP，得到AP⊥平面BCC₁B₁，利用平面与平面垂直的判定定理证明平面APQ⊥平面AB₁C．

解答 证明：（1）在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，BC∥B₁C₁且BC=B₁C₁，
因点P，R分别是棱BC，B₁C₁的中点，所以BP∥B₁R且BP=B₁R，
所以四边形BPRB₁是平行四边形，即PR∥BB₁且PR=BB₁，
又AA₁∥BB₁且AA₁=BB₁，所以PR∥AA₁且PR=AA₁，即四边形APRA₁是平行四边形，
所以AP∥A₁R，又A₁R?平面APQ，所以A₁R∥平面APQ．…（7分）
（2）因BB₁=BC，所以四边形BCC₁B₁是菱形，
所以B₁C⊥BC₁，又点P，Q分别是棱BC，C₁C₁的中点，即PQ∥BC₁，所以B₁C⊥PQ．
因为AB=AC，点P是棱BC的中点，所以AP⊥BC，
由直三棱柱ABC-A₁B₁C₁，知BB₁⊥底面ABC，即BB₁⊥AP，
所以AP⊥平面BCC₁B₁，则AP⊥B₁C，所以B₁C⊥平面APQ，又B₁C?平面AB₁C，
所以平面APQ⊥平面AB₁C…（14分）

点评 本题考查直线与平面垂直的判定定理以及平面与平面垂直的判定定理的应用，考查空间想象能力以及逻辑推理能力．