Question

9．如图所示，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是梯形，且AB∥DC，侧面PAD是正三角形，且平面PAD⊥平面ABCD，E，F，H分别是棱BC，CD，AD的中点，AB=1，DC=3，DB=$\sqrt{3}$，∠BCD=30°，BC＞BD．
（1）在棱PC上找一点M，使得平面PAB⊥平面MEF，并证明结论；
（2）在（1）的条件下，求平面MEF与平面PAC所成角的正弦值．

Answer 1

分析 以D为坐标原点、以DB、DC所在直线分别为x、y轴建立空间直角坐标系D-xyz．
（1）设M（a，b，c），通过$\overrightarrow{PM}$=λ$\overrightarrow{PC}$、平面PAB的法向量与平面MEF的法向量的数量积为0，计算即得结论；
（2）所求值即为平面MEF的法向量与平面PAC的法向量的夹角的正弦值，计算即可．

解答 设BC=x，在△BCD中，
∵DC=3，DB=$\sqrt{3}$，∠BCD=30°，
∴${\sqrt{3}}^{2}$=3²+x²-2•3•x•cos30°，
化简得${x}^{2}-3\sqrt{3}x+6=0$，
又∵BC＞BD，∴BC=2$\sqrt{3}$，
∵BC²=CD²+BD²，∴BD⊥DC，∴BD⊥AB，
又AB=1，∴AD=$\sqrt{A{B}^{2}+B{D}^{2}}$=2．
以D为坐标原点、以DB、DC所在直线分别为x、y轴建立空间直角坐标系D-xyz如图，
则D（0，0，0），A（$\sqrt{3}$，-1，0），B（$\sqrt{3}$，0，0），C（0，3，0），
P（$\frac{\sqrt{3}}{2}$，-$\frac{1}{2}$，$\sqrt{3}$），E（$\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\frac{3}{2}$，0），F（0，$\frac{3}{2}$，0），
（1）结论：在棱PC上取M（$\frac{3\sqrt{3}}{14}$，$\frac{3}{2}$，$\frac{3\sqrt{3}}{7}$），使得平面PAB⊥平面MEF．
理由如下：
证明：设平面PAB的法向量为$\overrightarrow{m}$=（x，y，z），
由$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{PA}=0}\\{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{AB}=0}\end{array}\right.$，得$\left\{\begin{array}{l}{\frac{\sqrt{3}}{2}x-\frac{1}{2}y-\sqrt{3}z=0}\\{y=0}\end{array}\right.$，
取z=1，得$\overrightarrow{m}$=（2，0，1），
设M（a，b，c），则$\overrightarrow{PM}$=λ$\overrightarrow{PC}$，
即（a-$\frac{\sqrt{3}}{2}$，b+$\frac{1}{2}$，c-$\sqrt{3}$）=λ（-$\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\frac{7}{2}$，-$\sqrt{3}$），
化简得$\left\{\begin{array}{l}{2a=c}\\{c=\frac{6\sqrt{3}}{7}-\frac{2\sqrt{3}b}{7}}\end{array}\right.$，
设平面MEF的法向量为$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
由$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{FE}=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{FM}=0}\end{array}\right.$，得$\left\{\begin{array}{l}{-\frac{\sqrt{3}}{2}x=0}\\{ax+（b-\frac{3}{2}）y+cz=0}\end{array}\right.$，
取y=1，得$\overrightarrow{n}$=（0，1，$\frac{3-2b}{2c}$），
∵平面PAB⊥平面MEF，
∴$\overrightarrow{m}$•$\overrightarrow{n}$=（2，0，1）•（0，1，$\frac{3-2b}{2c}$）=0，
∴b=$\frac{3}{2}$，
∴c=$\frac{6\sqrt{3}}{7}$-$\frac{2\sqrt{3}}{7}$•$\frac{3}{2}$=$\frac{3\sqrt{3}}{7}$，a=$\frac{c}{2}$=$\frac{3\sqrt{3}}{14}$．
在棱PC上取M（$\frac{3\sqrt{3}}{14}$，$\frac{3}{2}$，$\frac{3\sqrt{3}}{7}$），满足平面PAB⊥平面MEF；
（2）解：在（1）的条件下，有
平面MEF的法向量为$\overrightarrow{n}$=（0，1，0），
设平面PAC的法向量为$\overrightarrow{m}$=（x，y，z），
由$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{PA}=0}\\{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{AC}=0}\end{array}\right.$，得$\left\{\begin{array}{l}{\frac{\sqrt{3}}{2}x-\frac{1}{2}y-\sqrt{3}z=0}\\{-\sqrt{3}x+4y=0}\end{array}\right.$，
取x=$\sqrt{3}$，得$\overrightarrow{m}$=（$\sqrt{3}$，$\frac{3}{4}$，$\frac{3\sqrt{3}}{8}$），
∵cos＜$\overrightarrow{m}$，$\overrightarrow{n}$＞=$\frac{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{m}||\overrightarrow{n}|}$=$\frac{\frac{3}{4}}{\sqrt{3+\frac{9}{16}+\frac{27}{64}}}$=$\frac{2\sqrt{255}}{85}$，
∴平面MEF与平面PAC所成角的正弦值为$\sqrt{1-（\frac{2\sqrt{255}}{85}）^{2}}$=$\frac{\sqrt{6205}}{85}$．

点评 本题考查面面垂直的判定，及求二面角的三角函数值，考查分析问题、解决问题的能力，考查计算能力，注意解题方法的积累，属于中档题．