Question

1．（1）已知数列{a_n}适合：a₁=1，a_n+1=$\frac{2{a}_{n}}{{a}_{n}+2}$，写出前5项并写出其通项公式；
（2）用上面的数列{a_n}，通过等式b_n=a_n-a_n+1构造新数列{b_n}，写出b_n，并写出{b_n}的前5项．

Answer 1

分析 （1）直接由已知结合数列递推式求得数列的前5项，并由规律得到数列{a_n}的一个通项公式；
（2）把数列{a_n}的通项公式代入b_n=a_n-a_n+1，整理后直接对n取值求得数列{b_n}的前5项．

解答 解：（1）由a₁=1，a_n+1=$\frac{2{a}_{n}}{{a}_{n}+2}$，得
${a}_{2}=\frac{2{a}_{1}}{{a}_{1}+2}=\frac{2}{3}$，${a}_{3}=\frac{2{a}_{2}}{{a}_{2}+2}=\frac{1}{2}$=$\frac{2}{4}$，${a}_{4}=\frac{2{a}_{3}}{{a}_{3}+2}=\frac{2}{5}$，${a}_{5}=\frac{2{a}_{4}}{{a}_{4}+2}=\frac{1}{3}$=$\frac{2}{6}$．
由数列前5项可得数列的一个通项公式为${a}_{n}=\frac{2}{n+1}$；
（2）由${a}_{n}=\frac{2}{n+1}$，得b_n=a_n-a_n+1=$\frac{2}{n+1}-\frac{2}{n+2}=\frac{2}{（n+1）（n+2）}$．
∴${b}_{1}=\frac{1}{3}$，${b}_{2}=\frac{1}{6}$，${b}_{3}=\frac{1}{10}$，${b}_{4}=\frac{1}{15}$，${b}_{5}=\frac{1}{21}$．

点评 本题考查了数列递推式，考查了由数列的部分项求得数列的一个通项公式，是基础题．