Question

16．已知在△ABC中，内角∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c，面积S=$\frac{1}{4}$（a²+b²-c²）．
（1）求∠C的度数；
（2）若S=$\sqrt{2}$，a+b=$\sqrt{17}$，求边c的长度．

Answer 1

分析 （1）由三角形面积公式及由余弦定理可得：S_△ABC=$\frac{1}{4}$（a²+b²-c²）=$\frac{1}{4}$•2ab•cosC=$\frac{1}{2}$ab•sinC，可解得sinC=cosC，结合C的范围即可得解．
（2）由（1）及三角形面积公式可解得ab=4，由a+b=$\sqrt{17}$，解得：a²+b²=9，由余弦定理即可求得c的值．

解答 解：（1）由题意可得S_△ABC=$\frac{1}{2}$ab•sinC，再由余弦定理可得 S_△ABC=$\frac{1}{4}$（a²+b²-c²）=$\frac{1}{4}$•2ab•cosC=$\frac{1}{2}$ab•sinC，
∴$\frac{1}{2}$ab•sinC=$\frac{1}{2}$ab•cosC，
∴sinC=cosC，
∴C=45°．
（2）∵S_△ABC=$\frac{1}{2}$absinC=$\frac{\sqrt{2}ab}{4}$=$\sqrt{2}$，解得ab=4，
∵a+b=$\sqrt{17}$，两边平方可得：a²+b²+2ab=17，解得：a²+b²=9，
∴由余弦定理可得：c²=a²+b²-2abcosC=9-4$\sqrt{2}$．
∴c=$\sqrt{9-4\sqrt{2}}$=$\sqrt{（2\sqrt{2}-1）^{2}}$=2$\sqrt{2}$-1．

点评 本题主要考查了余弦定理，三角形面积公式等知识的应用，属于基本知识的考查．