Question

6．已知函数f（x）为R上的奇函数，当x＞0时，f（x）=$\frac{1}{2}$（|x+cosa|+|x+2cosa|+3cosa），若对任意实数x，都有f（x-3）≤f（x）恒成立，则a的取值范围是[-$\frac{2π}{3}$+2kπ，2kπ+$\frac{2π}{3}$]，k∈Z．

Answer 1

分析 令t=cosa，讨论t，把x≥0时的f（x）改写成分段函数，求出其最小值，由函数的奇偶性可得x＜0时的函数的最大值，由对x∈R，都有f（x-3）≤f（x），可得-2t-（4t）≤3，求解该不等式得答案．

解答 解：令t=cosa，则当x＞0时，f（x）=$\frac{1}{2}$（|x+t|+|x+2t|+3t），
若t≥0，则当x＞0时，f（x）=x+3t，
当x＜0时，f（x）=-f（-x）=-（-x+3t）=x-3t，
由f（x-3）≤f（x）恒成立，可得y=f（x）的图象恒在y=f（x-3）的图象上方，
则cosa≥0；
当t＜0时，当x≥0时，f（x）=
f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{-x，x≤-t}\\{t，-t＜x＜-2t}\\{x+3t，x≥-2t}\end{array}\right.$，
由f（x）=x+3t，x≥-2t，得f（x）≥t；
当-t＜x＜-2t时，f（x）=t；由f（x）=-x，0≤x≤-t，得f（x）≥t．
∴当x＞0时，f（x）_min=t．
∵函数f（x）为奇函数，
∴当x＜0时，f（x）_max=-t．
∵对x∈R，都有f（x-3）≤f（x），
∴-3t-3t≤3，解得-$\frac{1}{2}≤t＜0$，
即有-$\frac{1}{2}≤cosa＜0$，
综上可得cosa≥-$\frac{1}{2}$，
解得-$\frac{2π}{3}$+2kπ≤a≤2kπ+$\frac{2π}{3}$，k∈Z．
故答案为：[-$\frac{2π}{3}$+2kπ，2kπ+$\frac{2π}{3}$]，k∈Z．

点评 本题考查了恒成立问题，考查了函数奇偶性的性质，运用了转化思想，对任意的实数x，都有f（x-3）≤f（x）成立的理解与应用是关键，也是难点，属于难题．