Question

17．设公差不为零的等差数列{a_n}的前n项和为S_n，若S₁、a₂、S₃成等比数列，则$\frac{a_4}{a_1}$=7．

Answer 1

分析 由题意可得a₂²=S₁•S₃，化简可得d=2a₁，代入$\frac{{a}_{4}}{{a}_{1}}$，化简可得结果．

解答 解：数列{a_n}是公差不为0的等差数列，设公差为d，
S₁，a₂，S₃成等比数列，则 a₂²=S₁•S₃，
∴（ a₁+d）²=a₁•（3a₁+3d），
化简可得d=2a₁，（d=-a₁舍去），
∴$\frac{{a}_{4}}{{a}_{1}}$=$\frac{{a}_{1}+3d}{{a}_{1}}$=$\frac{{a}_{1}+6{a}_{1}}{{a}_{1}}$=7．
故答案为：7．

点评 本题主要考查等差数列的通项公式，等差数列的前n项和公式的应用，同时考查等比数列的性质，求出d=2a₁，是解题的关键，属于中档题．