Question

7．已知点P（1，3），Q（1，2）．设过点P的动直线与抛物线y=x²交于A，B两点，直线AQ，BQ与该抛物线的另一交点分别为C，D．记直线AB，CD的斜率分
别为k₁，k₂．
（Ⅰ）当k₁=0时，求弦AB的长；
（Ⅱ）当k₁≠2时，$\frac{{k}_{2}-2}{{k}_{1}-2}$是否为定值？若是，求出该定值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）通过直线AB的方程：y=3，可得A、B坐标，计算即可；
（Ⅱ）通过设直线AB的方程：y-3=k₁（x-1），联立直线AB与抛物线方程，利用韦达定理及A、Q、C三点共线，计算即得结论．

解答 解：（Ⅰ）∵点P（1，3），k₁=0时，
∴直线AB的方程为：y=3，
∴A（-$\sqrt{3}$，3），B（$\sqrt{3}$，3），
∴弦AB的长为$\sqrt{3}$-（-$\sqrt{3}$）=2$\sqrt{3}$；
（Ⅱ）∵直线AB的斜率为k₁，
∴可设直线AB的方程为：y-3=k₁（x-1），
设A（x₁，${{x}_{1}}^{2}$），B（x₂，${{x}_{2}}^{2}$），
联立直线AB与抛物线方程得$\left\{\begin{array}{l}{y={x}^{2}}\\{y={k}_{1}x-{k}_{1}+3}\end{array}\right.$，
消去y得x²-k₁x+k₁-3=0，
由韦达定理可得x₁+x₂=k₁，x₁x₂=k₁-3，
又设C（x₃，${{x}_{3}}^{2}$），D（x₄，${{x}_{4}}^{2}$），
则k₂=$\frac{{{x}_{4}}^{2}-{{x}_{3}}^{2}}{{x}_{4}-{x}_{3}}$=x₃+x₄，
由于A、Q、C三点共线可得$\frac{{{x}_{3}}^{2}-{{x}_{1}}^{2}}{{x}_{3}-{x}_{1}}$=$\frac{{{x}_{1}}^{2}-2}{{x}_{1}-1}$，
即x₃=1-$\frac{1}{{x}_{1}-1}$，
同理可得x₄=1-$\frac{1}{{x}_{2}-1}$，
∴当k₁≠2时，$\frac{{k}_{2}-2}{{k}_{1}-2}$=$\frac{{x}_{3}+{x}_{4}-2}{{x}_{1}+{x}_{2}-2}$
=-$\frac{1}{{x}_{1}{x}_{2}-（{x}_{1}+{x}_{2}）+1}$
=-$\frac{1}{（{k}_{1}-3）-{k}_{1}+1}$
=$\frac{1}{2}$，
故当k₁≠2时，$\frac{{k}_{2}-2}{{k}_{1}-2}$为定值$\frac{1}{2}$．

点评 本题是一道直线与抛物线的综合题，涉及到韦达定理等知识，考查分析问题、解决问题的能力，考查计算能力，注意解题方法的积累，属于中档题．