Question

7£®ÒÑÖªÏòÁ¿$\overrightarrow m$=$£¨{cosx£¬cos£¨{x+\frac{¦Ð}{6}}£©}£©£¬\overrightarrow n$=$£¨{\sqrt{3}$sinx+cosx£¬2sinx}£©£¬ÇÒÂú×ãf£¨x£©=$\overrightarrow{m}$•$\overrightarrow{n}$£®
£¨¢ñ£©Çóº¯Êýf£¨x£©µÄµ¥µ÷µÝÔöÇø¼ä£»
£¨¢ò£©ÔÚ¡÷ABC£¬½ÇA£¬B£¬CµÄ¶Ô±ß·Ö±ðÊÇa£¬b£¬c£¬Âú×ãa=2£¬f£¨$\frac{A}{2}$£©=2£¬Çó¡÷ABCÃæ»ýµÄ×î´óÖµ£®

Answer 1

·ÖÎö £¨¢ñ£©ÓÉÁ½ÏòÁ¿µÄ×ø±ê£¬ÀûÓÃƽÃæÏòÁ¿µÄÊýÁ¿»ýÔËËã·¨ÔòÁгö¹Øϵʽ£¬ÀûÓÃÁ½½ÇºÍÓë²îµÄÕýÏÒº¯Êý¹«Ê½»¯ÎªÒ»¸ö½ÇµÄÕýÏÒº¯Êý£¬ÀûÓÃÕýÏÒº¯ÊýµÄµ¥µ÷ÐÔÇó³öº¯Êýf£¨x£©µÄµ¥µ÷µÝÔöÇø¼ä¼´¿É£»
£¨¢ò£©ÓÉf£¨$\frac{A}{2}$£©=2£¬¸ù¾ÝµÚÒ»ÎÊÈ·¶¨³öµÄf£¨x£©½âÎöʽ£¬Çó³öAµÄ¶ÈÊý£¬ÀûÓÃÓàÏÒ¶¨ÀíÁгö¹Øϵʽ£¬°Ña£¬cosAµÄÖµ´úÈë²¢ÀûÓûù±¾²»µÈʽÇó³öbcµÄ×î´óÖµ£¬¼´¿ÉÈ·¶¨³öÈý½ÇÐÎABCÃæ»ýµÄ×î´óÖµ£®

½â´ð ½â£º£¨¢ñ£©f£¨x£©=$\overrightarrow{m}$•$\overrightarrow{n}$=cosx£¨$\sqrt{3}$sinx+cosx£©+2cos£¨x+$\frac{¦Ð}{6}$£©sinx=2cosxsin£¨x+$\frac{¦Ð}{6}$£©+2sinxcos£¨x+$\frac{¦Ð}{6}$£©=2sin£¨2x+$\frac{¦Ð}{6}$£©£¬
ÓÉ-$\frac{¦Ð}{2}$+2k¦Ð¡Ü2x+$\frac{¦Ð}{6}$¡Ü$\frac{¦Ð}{2}$+2k¦Ð£¬k¡ÊZ£¬µÃµ½-$\frac{¦Ð}{3}$+k¦Ð¡Üx¡Ü$\frac{¦Ð}{6}$+k¦Ð£¬k¡ÊZ£¬
Ôòº¯Êýf£¨x£©µÄµ¥µ÷µÝÔöÇø¼äΪ[-$\frac{¦Ð}{3}$+k¦Ð£¬$\frac{¦Ð}{6}$+k¦Ð]£¬k¡ÊZ£»
£¨¢ò£©f£¨$\frac{A}{2}$£©=2sin£¨A+$\frac{¦Ð}{6}$£©=2£¬¼´sin£¨A+$\frac{¦Ð}{6}$£©=1£¬
¡ßAΪÈý½ÇÐÎÄڽǣ¬
¡àA+$\frac{¦Ð}{6}$=$\frac{¦Ð}{2}$£¬¼´A=$\frac{¦Ð}{3}$£¬
ÓÉÓàÏÒ¶¨ÀíµÃ£ºa²=b²+c²-2bccosA£¬¼´4=b²+c²-2bc¡Á$\frac{1}{2}$=b²+c²-bc¡Ýbc£¬¼´bc¡Ü4£¨µ±ÇÒ½öµ±b=cʱ³ÉÁ¢£©£¬
¡àS_¡÷ABC=$\frac{1}{2}$¡Ábc•sin$\frac{¦Ð}{3}$¡Ü$\sqrt{3}$£¬
Ôò¡÷ABCÃæ»ýΪ×î´óֵΪ$\sqrt{3}$£®

µãÆÀ ´ËÌ⿼²éÁËÓàÏÒ¶¨Àí£¬Æ½ÃæÏòÁ¿µÄÊýÁ¿»ýÔËË㣬ÒÔ¼°Á½½ÇºÍÓë²îµÄÕýÏÒº¯Êý¹«Ê½£¬ÊìÁ·ÕÆÎÕÓàÏÒ¶¨ÀíÊǽⱾÌâµÄ¹Ø¼ü£®