Question

19．已知向量$\overrightarrow m$=$（{cosx，cos（{x+\frac{π}{6}}）}），\overrightarrow n$=$（{\sqrt{3}sinx$+cosx，2sinx}），且满足f（x）=$\overrightarrow m•\overrightarrow n$．
（Ⅰ）求函数f（x）的对称轴方程；
（Ⅱ）将函数f（x）的图象向右平移$\frac{π}{6}$个单位得到g（x）的图象，当x∈[0，π]时，求函数g（x）的单调递增区间．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由条件利用两个向量的数量积公式，三角恒等变换求得f（x）=2sin（2x+$\frac{π}{6}$），再根据正弦函数的图象的对称性求得f（x）的对称轴方程．
（Ⅱ）由条件利用函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律可得g（x）的解析式，再根据正弦函数的单调性，求得函数g（x）的单调递增区间．

解答 解：（Ⅰ）f（x）=$\overrightarrow m•\overrightarrow n$=cosx（$\sqrt{3}$sinx+cosx）+cos（x+$\frac{π}{6}$）2sinx=$\sqrt{3}$sinxcosx+cos²x+2sinx（$\frac{\sqrt{3}}{2}$cosx-$\frac{1}{2}$sinx）
=2$\sqrt{3}$sinxcosx+cos²x-sin²x=$\sqrt{3}$sin2x+cos2x=2sin（2x+$\frac{π}{6}$），
令2x+$\frac{π}{6}$=kπ+$\frac{π}{2}$，k∈z，求得x=$\frac{kπ}{2}$+$\frac{π}{6}$，故函数f（x）的对称轴方程为x=$\frac{kπ}{2}$+$\frac{π}{6}$，k∈z．
（Ⅱ）将函数f（x）的图象向右平移$\frac{π}{6}$个单位得到g（x）=2sin[2（x-$\frac{π}{6}$）+$\frac{π}{6}$]=2sin（2x-$\frac{π}{6}$）的图象．
令2kπ-$\frac{π}{2}$≤2x-$\frac{π}{6}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$，k∈z，求得kπ-$\frac{π}{6}$≤2x-$\frac{π}{6}$≤kπ+$\frac{π}{3}$，故函数g（x）的增区间为[kπ-$\frac{π}{6}$，kπ+$\frac{π}{3}$]，k∈z．
再结合x∈[0，π]时，可得函数g（x）的单调递增区间为[0，$\frac{π}{3}$]、[$\frac{5π}{6}$，π]．

点评 本题主要考查两个向量的数量积公式，三角恒等变换，函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，正弦函数的图象的对称性，正弦函数的单调性，属于基础题．