Question

9．设数列{a_n}的前n项和记为S_n，且S_n=2-a_n，n∈N^*，设函数f（x）=${log}_{\frac{1}{2}}$x，且满足b_n=f（a_n），数列{b_n}的前n项和记为T_n．
（1）求出数列{a_n}的通项公式及T_n；
（2）记c_n=a_n•b_n，求c_n的最大值．

Answer 1

分析 （1）利用递推式可得2a_n=a_n-1，再利用等比数列的通项公式及其前n项和公式即可得出，函数f（x）=${log}_{\frac{1}{2}}$x，且满足b_n=f（a_n），可得${b}_{n}=lo{g}_{\frac{1}{2}}（\frac{1}{2}）^{n-1}$=n-1．再利用等差数列的前n项和公式即可得出；
（2）先求出{c_n}的通项，分别求出前4项，再比较c_n-c_n-1值与0的关系，得到数列的单调性，问题得以解决．

解答 解：（1）∵S_n=2-a_n，
∴S_n-1=2-a_n-1，
两式相减得a_n=-a_n+a_n-1，
即2a_n=a_n-1，
∴$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n-1}}$=$\frac{1}{2}$，
当n=1时，a₁=2-a₁，
解得：a₁=1，
故{a_n}是以1为首项，以$\frac{1}{2}$为公比的等比数列，
∴a_n=$\frac{1}{{2}^{n-1}}$，
∵函数f（x）=${log}_{\frac{1}{2}}$x，且满足b_n=f（a_n），
∴b_n=${log}_{\frac{1}{2}}$a_n=n-1，
∴{b_n}是以0为首项，以1为公差的等差数列，
∴T_n=0+1+2+…+（n-1）=$\frac{n（n-1）}{2}$；
（2）∵c_n=a_n•b_n=$\frac{n-1}{{2}^{n-1}}$，
∴c₁=0，c₂=$\frac{1}{2}$，c₃=$\frac{1}{2}$，c₄=$\frac{3}{8}$
∴c_n-c_n-1=（n-1）$\frac{1}{{2}^{n-1}}$-（n-2）$\frac{1}{{2}^{n-2}}$=$\frac{3-n}{{2}^{n-1}}$
当n≤3时，c_n-c_n-1≥0，
当n＞3时，c_n-c_n-1＜0，
故从第3项起，数列{c_n}单调递减，
故c_n的最大值为$\frac{1}{2}$．

点评 本题考查了等差数列与等比数列的通项公式及其前n项和公式、对数的运算性质、递推式的应用，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．