Question

14．如图所示，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD=CD，E是PC的中点，作EF⊥PB交PB于点F．
（Ⅰ）求证：PA∥平面EDB；
（Ⅱ）求证：PB⊥平面EFD；
（Ⅲ）求二面角P-BC-D的大小．

Answer 1

分析 以D为坐标原点，以DA、DC、DP所在直线分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系D-xyz．
（Ⅰ）通过$\overrightarrow{PA}$与平面BDE的法向量的数量积为0即得结论；
（Ⅱ）通过$\overrightarrow{PB}$•$\overrightarrow{DE}$=$\overrightarrow{PB}$•$\overrightarrow{DF}$=0，即得结论；
（Ⅲ）所求值即为平面PBC的法向量与平面BCD的一个法向量的夹角的余弦值的绝对值，计算即可．

解答 如图，以D为坐标原点，以DA、DC、DP所在直线分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系D-xyz．
设PD=CD=1，则D（0，0，0），A（1，0，0），B（1，1，0），C（0，1，0），P（0，0，1）．
（Ⅰ）证明：∵E是PC的中点，∴E（0，$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2}$），
$\overrightarrow{DE}$=（0，$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2}$），$\overrightarrow{DB}$=（1，1，0），
设平面BDE的法向量为$\overrightarrow{m}$=（x，y，z），
由$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{DE}=0}\\{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{DB}=0}\end{array}\right.$，得$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{2}y+\frac{1}{2}z=0}\\{x+y=0}\end{array}\right.$，
取y=1，得$\overrightarrow{m}$=（-1，1，-1），
又∵$\overrightarrow{PA}$=（1，0，-1），
∴$\overrightarrow{PA}$•$\overrightarrow{m}$=（1，0，-1）•（-1，1，-1）=0，
∴PA∥平面EDB；
（Ⅱ）证明：根据题意可设F（p，p，q），
则$\overrightarrow{PF}$=F（p，p，q-1），$\overrightarrow{PB}$=（1，1，-1），$\overrightarrow{EF}$=（p，p-$\frac{1}{2}$，q-$\frac{1}{2}$），
∵EF⊥PB，∴$\overrightarrow{PB}$•$\overrightarrow{EF}$=（1，1，-1•（p，p-$\frac{1}{2}$，q-$\frac{1}{2}$）=0，
$\overrightarrow{PF}$=λ$\overrightarrow{PB}$，即（p，p，q-1）=λ（1，1，-1），
解得p=$\frac{1}{3}$，q=$\frac{2}{3}$，
∴$\overrightarrow{DE}$=（0，$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2}$），$\overrightarrow{DF}$=（$\frac{1}{3}$，$\frac{1}{3}$，$\frac{2}{3}$），
又∵$\overrightarrow{PB}$=（1，1，-1），
$\overrightarrow{PB}$•$\overrightarrow{DE}$=（1，1，-1）•（0，$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2}$）=0，
$\overrightarrow{PB}$•$\overrightarrow{DF}$=（1，1，-1）•（$\frac{1}{3}$，$\frac{1}{3}$，$\frac{2}{3}$）=0，
∴PB⊥平面EFD；
（Ⅲ）解：$\overrightarrow{CB}$=（1，0，0），$\overrightarrow{CP}$=（0，-1，1）．
设平面PBC的法向量为$\overrightarrow{m}$=（x，y，z），
由$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{CB}=0}\\{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{CP}=0}\end{array}\right.$，得$\left\{\begin{array}{l}{x=0}\\{-y+z=0}\end{array}\right.$，
取y=1，得$\overrightarrow{m}$=（0，1，1），
又$\overrightarrow{n}$=（0，0，1）是平面BCD的一个法向量，
∴cos＜$\overrightarrow{m}$，$\overrightarrow{n}$＞=$\frac{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{m}||\overrightarrow{n}|}$=$\frac{1}{\sqrt{2}•1}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴二面角P-BC-D的大小为$\frac{π}{4}$．
（本题还可直接求出二面角P-BC-D的平面角∠PCD的大小）

点评 本题考查空间中线面平行、线面垂直的判定，考查求二面角的三角函数值，注意解题方法的积累，属于中档题．