Question

2．已知三棱椎D-ABC，AB=AC=1，AD=2，∠BAD=∠CAD=∠BAC=90°，点E，F分别是BC，DE的中点，如图所示，
（1）求证AF⊥BC
（2）求线段AF的长．

Answer 1

分析 （1）以AB、AC和AD为x、y、z轴，建立空间直角坐标系，得出A、B、C、D以及E、F的坐标，
利用坐标表示$\overrightarrow{AF}$、$\overrightarrow{BC}$，证明$\overrightarrow{AF}$⊥$\overrightarrow{BC}$即可；
（2）由$\overrightarrow{AF}$求模长|$\overrightarrow{AF}$|即可．

解答 解：（1）分别以AB、AC和AD为x、y、z轴，建立空间直角坐标系O-xyz，
如图所示：

记A（0，0，0），B（1，0，0），C（0，1，0），D（0，0，2），
∴E（$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2}$，0），F（$\frac{1}{4}$，$\frac{1}{4}$，1）；
∴$\overrightarrow{AF}$（$\frac{1}{4}$，$\frac{1}{4}$，1），$\overrightarrow{BC}$=（-1，1，0），
∴$\overrightarrow{AF}$•$\overrightarrow{BC}$=$\frac{1}{4}$×（-1）+$\frac{1}{4}$×1+1×0=0，
∴$\overrightarrow{AF}$⊥$\overrightarrow{BC}$，
即AF⊥BC；
（2）∵$\overrightarrow{AF}$=（$\frac{1}{4}$，$\frac{1}{4}$，1），
∴|$\overrightarrow{AF}$|=$\sqrt{{（\frac{1}{4}）}^{2}{+（\frac{1}{4}）}^{2}{+1}^{2}}$=$\sqrt{\frac{9}{8}}$=$\frac{3\sqrt{2}}{4}$，
即线段AB=$\frac{3\sqrt{2}}{4}$．

点评 本题考查了空间中的平行与垂直关系的应用问题，解题的关键是根据垂直关系建立空间直角坐标系，利用向量解答问题，是基础题目．