Question

10．设实数x，y满足$\left\{\begin{array}{l}{x-y-2≤0}\\{x+2y-5≥0}\\{y-2≤0}\end{array}\right.$，求$μ=\frac{xy}{{x}^{2}+{y}^{2}}$的最小值．

Answer 1

分析 作出不等式组对应的平面区域，利用换元法结合数形结合进行求解即可．

解答 解：作出不等式组对应的平面区域如图：则x＞0，y＞0，
则$μ=\frac{xy}{{x}^{2}+{y}^{2}}$=$\frac{\frac{y}{x}}{1+（\frac{y}{x}）^{2}}$=$\frac{1}{\frac{y}{x}+\frac{1}{\frac{y}{x}}}$，
设k=$\frac{y}{x}$，则k的几何意义是区域内的点到原点的斜率，
由图象知OA的斜率最大，OC的斜率最小，
由$\left\{\begin{array}{l}{y-2=0}\\{x+2y-5=0}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{x=1}\\{y=2}\end{array}\right.$，即A（1，2），
由$\left\{\begin{array}{l}{x-y-2=0}\\{x+2y-5=0}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{x=3}\\{y=1}\end{array}\right.$，即C（3，1），
则k_OA=2，k_OC=$\frac{1}{3}$，
即$\frac{1}{3}$≤k≤2，
∵μ=$\frac{1}{k+\frac{1}{k}}$，
∴2≤k+$\frac{1}{k}$≤$\frac{10}{3}$，
$\frac{3}{10}$≤$\frac{1}{k+\frac{1}{k}}$≤$\frac{1}{2}$，
即μ取得最小值为$\frac{3}{10}$．

点评 本题主要考查线性规划的应用，利用换元法以及直线斜率的几何意义，利用数形结合是解决本题的关键．综合性较强，有一定的难度．