Question

20．如图，三棱柱 ABC-A₁B₁C₁ 中，AA₁⊥平面 A₁B₁C₁，AB=AC=AA₁=2，AB⊥AC，D 为 AC 中点，点 E 在棱 CC₁C上，且 AE⊥平面 A₁B₁D．
（Ⅰ）求 CE 的长；
（Ⅱ）求三棱锥 E-A₁BD 的体积．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根据线面垂直的性质定理，证明AE⊥A₁D，利用D为AC的中点，即可求CE的长；
（Ⅱ）根据锥体的条件公式确定三棱锥的底面积和高即可以求出锥体的体积．

解答 解：（Ⅰ）∵AE⊥平面 A₁B₁D，
∴AE⊥A₁D，
又ACC₁A₁是边长为2的正方形，D为AC的中点，
故E为CC的中点，∴CE=1；  …（6分）
（Ⅱ）∵AA₁⊥平面A₁B₁C₁，∴AA₁⊥AC，
 又AB⊥AC，
∴BA⊥平面ACC₁A₁．
∴${V}_{E-{A}_{1}BD}$=${V}_{E-{A}_{1}DE}$=$\frac{1}{3}×2×{S}_{△{A}_{1}DE}$=$\frac{2}{3}$×（4-$\frac{1}{2}-1-1$）=1．…（12分）

点评 本题主要考查线面垂直的性质，以及三棱锥的体积的计算，利用等积法转化是解决本题关键．