Question

5．已知函数f（x）=|2x-1|-|x+1|．
（1）解不等式f（x）＜2；
（2）若?x∈R，f（x）≥a，求a的最大值．

Answer 1

分析 （1）通过讨论x的范围求出不等式的解集即可；
（2）分别求出各个区间上的函数的最小值，从而求出a的最大值．

解答 解：（1）x≥$\frac{1}{2}$时：
f（x）=x-2＜2，解得：$\frac{1}{2}$≤x＜4，
-1≤x＜$\frac{1}{2}$时：
f（x）=-3x＜2，解得：-$\frac{2}{3}$≤x＜$\frac{1}{2}$，
x＜-1时：
f（x）=-x+2＜2，x＞0（舍），
综上：不等式的解集是：{x|-$\frac{2}{3}$＜x＜4}；
（2）：由（1）得：
x≥$\frac{1}{2}$时：
f（x）=x-2＜2，f（x）_min=-$\frac{3}{2}$，
-1≤x＜$\frac{1}{2}$时：
f（x）=-3x＜2，f（x）_min=-$\frac{3}{2}$，
x＜-1时：
f（x）=-x+2＜2，f（x）_min=3，
综上：f（x）_min=-$\frac{3}{2}$，
故a的最大值是-$\frac{3}{2}$．

点评 本题考察了绝对值不等式的解法，考察分类讨论，是一道中档题．