Question

10．已知（$\sqrt{x}$+$\frac{x}{2}$）ⁿ的展开式中，前三项系数成等差数列，求展开式中含有$\sqrt{{x}^{11}}$的项的二项式系数及项的系数．

Answer 1

分析 根据（$\sqrt{x}$+$\frac{x}{2}$）ⁿ的展开式中前三项的系数成等差数列，求出n的值，再利用二项式展开式的通项公式求出展开式中含有$\sqrt{{x}^{11}}$的项是第几项，从而求出二项式系数以及对应项的系数．

解答 解：（$\sqrt{x}$+$\frac{x}{2}$）ⁿ的展开式中，前三项分别为${C}_{n}^{0}$${（\sqrt{x}）}^{n}$${（\frac{x}{2}）}^{0}$=${x}^{\frac{n}{2}}$，
${C}_{n}^{1}$${（\sqrt{x}）}^{n-1}$$\frac{x}{2}$=$\frac{n}{2}$•${x}^{\frac{n+1}{2}}$，
${C}_{n}^{2}$${（\sqrt{x}）}^{n-2}$${（\frac{x}{2}）}^{2}$=$\frac{n（n-1）}{8}$•${x}^{\frac{n+2}{2}}$；
它们的系数1、$\frac{n}{2}$、$\frac{n（n-1）}{8}$成等差数列，
∴2×$\frac{n}{2}$=1+$\frac{n（n-1）}{8}$，
整理，得n²-9n+8=0，
解得n=8或n=1（舍去）；
∴${（\sqrt{x}+\frac{x}{2}）}^{8}$展开式的通项为
T_r+1=${C}_{8}^{r}$${（\sqrt{x}）}^{8-r}$${（\frac{x}{2}）}^{r}$=${C}_{8}^{r}$•${（\frac{1}{2}）}^{r}$•${x}^{\frac{8+r}{2}}$，
令$\frac{8+r}{2}$=$\frac{11}{2}$，
解得r=3；
∴${C}_{8}^{3}$=56，
${C}_{8}^{3}$•${（\frac{1}{2}）}^{3}$=56×$\frac{1}{8}$=7；
即展开式中含有$\sqrt{{x}^{11}}$的项的二项式系数是56，
项的系数是7．

点评 本题考查了二项式定理的应用问题，也考查了组合数公式的应用问题，考查了计算能力与逻辑思维能力的应用问题，是基础题目．