Question

18．已知函数 f（x）=sin（x-$\frac{3}{2}$π）cos（$\frac{π}{2}$-x）+cosxcos（π-x）．
（Ⅰ）求 f（x）的最小正周期；
（Ⅱ）当x∈[$\frac{π}{4}$，$\frac{3}{4}π$]时，求 f（x） 的值域．

Answer 1

分析 利用诱导公式以及二倍角公式，结合两角差的正弦函数化简表达式，
（1）直接利用周期个数求解即可．
（2）求出相位的范围，利用正弦函数的值域求解函数的值域即可．

解答 （本小题满分13分）
解：（Ⅰ） f（x）=sin（x-$\frac{3}{2}$π）cos（$\frac{π}{2}$-x）+cosxcos（π-x）
=cosxsinx-cos²x=$\frac{1}{2}$sin2x-$\frac{1+cos2x}{2}$
=$\frac{\sqrt{2}}{2}$$sin（2x-\frac{π}{4}）-\frac{1}{2}$．
所以函数f（x）的最小正周期为：π；…（6分）
（Ⅱ）∵x∈[$\frac{π}{4}$，$\frac{3}{4}π$]，∴2x-$\frac{π}{4}$∈$[\frac{π}{4}，\frac{5π}{4}]$，
∴$sin（2x-\frac{π}{4}）∈[-\frac{\sqrt{2}}{2}，1]$，
∴$f（x）∈[-1，\frac{\sqrt{2}-1}{2}]$．…（13分）

点评 本题考查两角和与差的三角函数，二倍角公式的应用，正弦函数的周期以及函数的值域的求法，考查计算能力．