Question

5．将边长为1的正方形ABCD沿对角线AC折起，使得平面ADC⊥平面ABC，在折起后形成的三棱锥D-ABC中，给出下列三个命题：
①△DBC是等边三角形；  
②AC⊥BD；  
③三棱锥D-ABC的体积是$\frac{{\sqrt{2}}}{6}$．
其中正确命题的序号是（　　）

• A． ①③
• B． ①②
• C． ②③
• D． ①②③

Answer 1

分析 画出图形，根据图可知BD=DO=1，再由BC=$\sqrt{2}$DC=1，判断①的正误．
由AC⊥DO，AC⊥BO，可得AC⊥平面DOB，从而有AC⊥BD，判断②的正误．
求出三棱锥D-ABC的体积，判断③的正误．

解答 解：如图所示：BD=$\sqrt{2}$DO=$\sqrt{2}$×$\frac{\sqrt{2}}{2}$=1，
又BC=DC=1，
∴面DBC是等边三角形，①正确；
∵AC⊥DO，AC⊥BO，
∴AC⊥平面DOB，
∴AC⊥BD，②正确；
三棱锥D-ABC的体积=$\frac{1}{3}$S△ABC•OD=$\frac{1}{3}$•$\frac{1}{2}$•1•1•$\frac{\sqrt{2}}{2}$=$\frac{\sqrt{2}}{12}$，③不正确．
故选：B．

点评 本题主要考查折叠问题，要注意折叠前后的改变的量和位置，不变的量和位置，属中档题．