Question

1．如图，在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，点E是AB的中点，点F是AD的中点，求证：平面AA₁C₁C⊥平面A₁EF．

Answer 1

分析 利用正方体的侧棱垂直于底面，得到AA₁⊥平面ABCD，从而AA₁⊥EF，再利用正方形ABCD中，对角线AC、BD互相垂直且EF∥BD，得到AC⊥EF，结合直线与平面垂直的判定定理，得到EF⊥平面AA₁C₁C，最后用平面与平面垂直的判定定理，可得．

解答 解：∵AA₁⊥平面ABCD，EF?平面ABCD，
∴AA₁⊥EF
∵正方形ABCD中，AC⊥BD且EF∥BD
∴AC⊥EF
∵AA₁∩AC=A，AA₁、AC?平面AA₁C
∴EF⊥平面AA₁C₁C
∵EF?面EFG
∴平面AA₁C₁C⊥平面A₁EF．

点评 本题考查了平面与平面平行的判定定理和平面与平面垂直的判定定理在正方体中的运用；属于基础题．