Question

18．设函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}-2x+a，x＜\frac{1}{2}}\\{{4}^{x}-3，x≥\frac{1}{2}}\end{array}\right.$的最小值为-1，则实数a的取值范围是（　　）

• A． a≥-2
• B． a＞-2
• C． a≥-$\frac{1}{4}$
• D． a＞-$\frac{1}{4}$

Answer 1

分析 运用指数函数的单调性和二次函数的单调性，分别求出当x≥$\frac{1}{2}$时，当x＜$\frac{1}{2}$时，函数的值域，由题意可得a的不等式，计算即可得到．

解答 解：当x≥$\frac{1}{2}$时，f（x）=4^x-3≥2-3=-1，
当x=$\frac{1}{2}$时，取得最小值-1；
当x＜$\frac{1}{2}$时，f（x）=x²-2x+a=（x-1）²+a-1，
即有f（x）在（-∞，$\frac{1}{2}$）递减，
则f（x）＞f（$\frac{1}{2}$）=a-$\frac{3}{4}$，
由题意可得a-$\frac{3}{4}$≥-1，
解得a≥-$\frac{1}{4}$．
故选：C．

点评 本题考查分段函数的运用：求最值，主要考查指数函数的单调性和二次函数的值域的求法，属于中档题．