Question

6．如图所示的几何体是由一个正三棱锥P-ABC与正三棱柱ABC-A₁B₁C₁组合而成，现用4种不同颜色对这个几何体的表面染色（底面A₁B₁C₁不涂色），要求相邻的面均不同色，则不同的染色方案共有72种．

Answer 1

分析 假设先给△APB染色，可有4种方法，则△PBC、△PAC、矩形ABB₁A₁可有${A}_{3}^{3}$种不同染色方法；分类讨论：若矩形BCC₁B₁与△APB染色相同，则矩形ACC₁A₁只有1种染色方法；若矩形BCC₁B₁与△APB染色不相同，只有1种染色方法，则矩形ACC₁A₁可有2种染色方法．即可得出．

解答 解：假设先给△APB染色，可有4种方法，则△PBC、△PAC、矩形ABB₁A₁可有${A}_{3}^{3}$种不同染色方法；
若矩形BCC₁B₁与△APB染色相同，则矩形ACC₁A₁只有1种染色方法；
若矩形BCC₁B₁与△APB染色不相同，只有1种染色方法，则矩形ACC₁A₁可有2种染色方法．
综上可得不同的染色方案共有$4×{A}_{3}^{3}$×（1×1+1×2）=72种．
故答案为：72．

点评 本题考查了排列与组合数的应用、分类讨论思想方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．