Question

20．已知函数$f（x）=sin（x-\frac{3π}{2}）cos（\frac{π}{2}-x）+cosxcos（π-x）$．
（Ⅰ）求f（x）的最小正周期；
（Ⅱ）当$x∈[\frac{π}{4}，\frac{3π}{4}]$，求f（x）的值域．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用诱导公式化简解析式为一个角的一个三角函数名称的形式，然后求周期；
（Ⅱ）由自变量范围求复合角的范围，利用正弦函数的单调性求值域．

解答 解：（Ⅰ）$f（x）=cosxsinx-{cos^2}x=\frac{1}{2}sin2x-\frac{1+cos2x}{2}=\frac{{\sqrt{2}}}{2}sin（2x-\frac{π}{4}）-\frac{1}{2}$，
所以函数f（x）的最小正周期为π；…（6分）
（Ⅱ）$x∈[\frac{π}{4}，\frac{3π}{4}]⇒2x-\frac{π}{4}∈[\frac{π}{4}，\frac{5π}{4}]⇒sin（2x-\frac{π}{4}）∈[-\frac{{\sqrt{2}}}{2}，1]$，
∴$f（x）∈[-1，\frac{{\sqrt{2}-1}}{2}]$．…（13分）

点评 本题考查了三角函数倍角公式化简三角函数式以及利用三角函数的单调性求值域；属于经常考查题型．