Question

5．已知函数f（x）=x³+ax²+bx+1，（x∈R）在x=3取得极小值
（1）求函数f（x）的极小值是-5，求f（x）；
（2）若a=-4时，函数f（x）存在极大值，求b的取值范围及f（x）取得极大值时x的值．

Answer 1

分析 （1）求导数，利用f′（3）=0，f（3）=-5，建立方程求出a，b，可求f（x）；
（2）若a=-4时，函数f（x）存在极大值，求b的取值范围及f（x）取得极大值时x的值．

解答 解：（1）∵f（x）=x³+ax²+bx+1，
∴f′（x）=3x²+2ax+b，
∴f′（3）=0，f（3）=-5，
∴27+6a+b=0，27+9a+3b+1=-5，
∴a=-$\frac{16}{3}$，b=5，
∴f（x）=x³-$\frac{16}{3}$x²+5x+1；
（2）f′（3）=0，可得27+6a+b=0，a=-4，∴b=-3，
∴f′（x）=3x²-8x-3=（x-3）（3x+1），
∴函数在（-∞，-$\frac{1}{3}$），（3，+∞）单调递增，在（-$\frac{1}{3}$，3）上单调递减，
∴f（x）取得极大值时x=-$\frac{1}{3}$．

点评 本题考查导数知识的综合运用，考查函数的极值与单调性，考查学生的计算能力，正确求导是关键．