Question

15．已知点P（2，0）及圆C：（x-3）²+（y+2）²=9．
（Ⅰ）若直线l过点P且与圆心C的距离为1，求直线l的方程；
（Ⅱ）设直线ax-y+1=0与圆C交于A，B两点，是否存在实数a，使得过点P（2，0）的直线l₂垂直平分弦AB？若存在，求出实数a的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）分直线斜率存在与否，两种情况解答；
（2）把直线y=ax+1代入圆C的方程d得到关于x的一元二次方程，利用交点个数与判别式的关系得到a的范围，设符合条件的实数a存在，利用直线垂直的斜率关系得到a值判断．

解答 解：（1）设直线l的斜率为k（k存在），
则方程为y-0=k（x-2）．即kx-y-2k=0
又圆C的圆心为（3，-2），半径r=3，
由  $\frac{{|{3k+2-2k}|}}{{\sqrt{{k^2}+1}}}=1$，解得$k=-\frac{3}{4}$．
所以直线方程为$y=-\frac{3}{4}（x-2）$，即 3x+4y-6=0．
当l的斜率不存在时，l的方程为x=2，经验证x=2也满足条件．
（2）把直线y=ax+1．代入圆C的方程，
消去y，整理得（a²+1）x²+6（a-1）x+9=0．
由于直线ax-y-1=0交圆C于A，B两点，
故△=36（a-1）²-36（a²+1）＞0，
即-2a＞0，解得a＜0．则实数a的取值范围是（-∞，0）．
设符合条件的实数a存在，
由于l₂垂直平分弦AB，故圆心C（3，-2）必在l₂上．
所以l₂的斜率k_PC=-2，而${k_{AB}}=a=-\frac{1}{{{k_{PC}}}}$，所以$a=\frac{1}{2}$．由于$\frac{1}{2}∉（-∞，0）$，
故不存在实数a，使得过点P（2，0）的直线l₂垂直平分弦AB．

点评 本题考查了直线方程的求法以及直线与圆的位置关系的判断；属于中档题．