Question

5．若指数函数f（x）的图象过点（-2，4），则f（3）=$\frac{1}{8}$；不等式f（x）+f（-x）＜$\frac{5}{2}$的解集为（-1，1）．

Answer 1

分析 设出指数函数解析式，将点的坐标代入，求参数a，然后将不等式具体化，换元得到一元二次不等式解之，然后还原求解集．

解答 解：设指数函数解析式为y=a^x，因为指数函数f（x）的图象过点（-2，4），所以4=a^-2，解得a=$\frac{1}{2}$，所以指数函数解析式为y=$（\frac{1}{2}）^{x}$，所以f（3）=$（\frac{1}{2}）^{3}=\frac{1}{8}$；
不等式f（x）+f（-x）＜$\frac{5}{2}$为$（\frac{1}{2}）^{x}+{2}^{x}＜\frac{5}{2}$，设2^x=t，不等式化为$\frac{1}{t}+t＜\frac{5}{2}$，所以2t²-5t+2＜0解得$\frac{1}{2}$＜t＜2，即$\frac{1}{2}$＜2^x＜2，所以-1＜x＜1，所以不等式的解集为（-1，1）．
故答案为：$\frac{1}{8}$；（-1，1）．

点评 本题考查了待定系数法求指数函数解析式以及解指数不等式；采用了换元的方法．