Question

4．某市一所高中随机抽取部分高一学生调查其上学路上所需时间（单位：分钟），并将所得数据绘制成频率分布直方图（如图），其中上学路上所需时间的范围是[0，100]，样本数据分组为[0，20），[20，40），[40，60），[60，80），[80，100]．

（Ⅰ）求直方图中x的值；     
（Ⅱ）如果上学路上所需时间不少于1小时的学生可申请在学校住宿，若招生1200名，请估计新生中有多少名学生可以申请住宿；     
（Ⅲ）从学校的高一学生中任选4名学生，这4名学生中上学路上所需时间少于20分钟的人数记为X，求X的分布列和数学期望．（以直方图中的频率作为概率）

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用直方图概率的和为1，直接求解x即可．
（Ⅱ）新生上学所需时间不少于1小时的频率，然后求解1200名新生中有144名学生申请住宿的人数．（Ⅲ）X的可能取值为0，1，2，3，4求出概率，得到分布列，然后求解期望．

解答 （本小题满分12分）
解（Ⅰ）由直方图可得：20×x+0.025×20+0.0065×20+0.003×2×20=1．
所以 x=0.0125．   …（3分）
（Ⅱ）新生上学所需时间不少于1小时的频率为：
0.003×2×20=0.12，
因为1200×0.12=144，
所以1200名新生中有144名学生可以申请住宿．…（6分）
（Ⅲ）X的可能取值为0，1，2，3，4
由直方图可知，每位学生上学所需时间少于20分钟的概率为$\frac{1}{4}$，
$P（X=0）={C}_{4}^{0}（{\frac{3}{4}）}^{4}=\frac{81}{256}$，$P（X=1）=C_4^1（{\frac{1}{4}}）{（{\frac{3}{4}}）^3}=\frac{27}{64}$，$P（X=2）=C_4^2{（{\frac{1}{4}}）^2}{（{\frac{3}{4}}）^2}=\frac{27}{128}$，$P（X=3）=C_4^3{（{\frac{1}{4}}）^3}（{\frac{3}{4}}）=\frac{3}{64}$，$P（X=4）={（{\frac{1}{4}}）^4}=\frac{1}{256}$． （10分）
所以X的分布列为：

X	0	1	2	3	4
P	$\frac{81}{256}$	$\frac{27}{64}$	$\frac{27}{128}$	$\frac{3}{64}$	$\frac{1}{256}$

EX=$0×\frac{81}{256}+1×\frac{27}{64}+2×\frac{27}{128}+3×\frac{3}{64}+4×\frac{1}{256}=1$．（或$EX=4×\frac{1}{4}=1$）
所以X的数学期望为1．…（12分）

点评 本题考查频率分布直方图，离散型随机变量的分布列以及期望的求法，考查计算能力．