Question

9．设a，b为共轭复数，且$\frac{{a}^{2}}{b}$为实数，求$\frac{b}{a}$的值．

Answer 1

分析 设a=m+ni，b=m-ni，其中m，n∈R，i为虚数单位，由$\frac{{a}^{2}}{b}$为实数可得n=0或3m²=n²，又$\frac{b}{a}$=$\frac{{m}^{2}+{n}^{2}-2mni}{{m}^{2}+{n}^{2}}$，分别代入计算可得．

解答 解：∵a，b为共轭复数，∴设a=m+ni，b=m-ni，其中m，n∈R，i为虚数单位，
∴$\frac{{a}^{2}}{b}$=$\frac{（m+ni）^{2}}{m-ni}$=$\frac{（m+ni）^{3}}{（m-ni）（m+ni）}$=$\frac{{m}^{3}-3m{n}^{2}+（3{m}^{2}n-{n}^{3}）i}{{m}^{2}+{n}^{2}}$，
∵$\frac{{a}^{2}}{b}$为实数，∴3m²n-n³=0，
即n（3m²-n²）=0，∴n=0或3m²=n²，
∵$\frac{b}{a}$=$\frac{m-ni}{m+ni}$=$\frac{（m-ni）^{2}}{（m+ni）（m-ni）}$=$\frac{{m}^{2}+{n}^{2}-2mni}{{m}^{2}+{n}^{2}}$，
∴当n=0时，$\frac{b}{a}$=$\frac{{m}^{2}+{n}^{2}-2mni}{{m}^{2}+{n}^{2}}$=1
当3m²=n²时，$\frac{b}{a}$=$\frac{{m}^{2}+{n}^{2}-2mni}{{m}^{2}+{n}^{2}}$=1±$\frac{\sqrt{3}}{4}$i

点评 本题考查复数的代数形式的乘除运算，涉及复数的基本概念和分类讨论，属中档题．