Question

18．定义：如果函数f（x）在[a，b]上存在x₁，x₂（a＜x₁＜x₂＜b）满足$f'（{x_1}）=\frac{f（b）-f（a）}{b-a}$，$f'（{x_2}）=\frac{f（b）-f（a）}{b-a}$，则称函数f（x）是[a，b]上的“双中值函数”．已知函数f（x）=x³-x²+a是[0，a]上的“双中值函数”，则实数a的取值范围是（　　）

• A． $（\frac{1}{3}，\frac{1}{2}）$
• B． （$\frac{3}{2}，3$）
• C． （$\frac{1}{2}$，1）
• D． （$\frac{1}{3}$，1）

Answer 1

分析 根据题目给出的定义可得f′（x₁）=f′（x₂）=$\frac{f（a）-f（0）}{a}$=a²-a，即方程3x²-2x=a²-a在区间（0，a）有两个解，利用二次函数的性质可知实数a的取值范围．

解答 解：由题意可知，∵f（x）=x³-x²+a，f′（x）=3x²-2x
在区间[0，a]存在x₁，x₂（a＜x₁＜x₂＜b），
满足f′（x₁）=f′（x₂）=$\frac{f（a）-f（0）}{a}$=a²-a，
∵f（x）=x³-x²+a，
∴f′（x）=3x²-2x，
∴方程3x²-2x=a²-a在区间（0，a）有两个不相等的解．
令g（x）=3x²-2x-a²+a，（0＜x＜a）
则，$\left\{\begin{array}{l}{△=4-12（-{a}^{2}+a）＞0}\\{g（0）=-{a}^{2}+a＞0}\\{g（a）=2{a}^{2}-a＞0}\\{0＜\frac{1}{3}＜a}\end{array}\right.$
解得；$\frac{1}{2}＜a＜1$．
∴实数a的取值范围是（$\frac{1}{2}$，1）
故选：C

点评 本题主要考查了导数的几何意义，二次函数的性质与方程根的关系，属于中档题