Question

12．已知$\overrightarrow{a}$、$\overrightarrow{b}$、$\overrightarrow{c}$都为单位向量，其中$\overrightarrow{a}$、$\overrightarrow{b}$的夹角为$\frac{2}{3}$π，则$\sqrt{1-\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}}$+$\sqrt{1-\overrightarrow{b}•\overrightarrow{c}}$的取值范围是[$\frac{\sqrt{6}}{2}$，$\frac{\sqrt{6}}{2}$$+\sqrt{2}$]．

Answer 1

分析 根据平面向量的数量积得出则$\sqrt{1-\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}}$+$\sqrt{1-\overrightarrow{b}•\overrightarrow{c}}$=$\frac{\sqrt{6}}{2}$+$\sqrt{1-cosθ}$，利用三角函数的有界性求解即可．

解答 解：∵$\overrightarrow{a}$、$\overrightarrow{b}$、$\overrightarrow{c}$都为单位向量，其中$\overrightarrow{a}$、$\overrightarrow{b}$的夹角为$\frac{2}{3}$π，
∴$\overrightarrow{a}$$•\overrightarrow{b}$=$-\frac{1}{2}$，$\overrightarrow{b}$$•\overrightarrow{c}$=cosθ，θ∈[0，2π]，
∴则$\sqrt{1-\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}}$+$\sqrt{1-\overrightarrow{b}•\overrightarrow{c}}$=$\frac{\sqrt{6}}{2}$+$\sqrt{1-cosθ}$，
∵-1≤cosθ≤1，
∴$\frac{\sqrt{6}}{2}$≤$\frac{\sqrt{6}}{2}$+$\sqrt{1-cosθ}$≤$\frac{\sqrt{6}}{2}$$+\sqrt{2}$，
故答案为：[$\frac{\sqrt{6}}{2}$，$\frac{\sqrt{6}}{2}$$+\sqrt{2}$]

点评 本题主要考查两个向量的数量积的定义，求向量的模，属于中档题