Question

20．已知a，b，c分别是△ABC的内角A，B，C所对的边，且c=2，sinC（cosB-$\sqrt{3}$sinB）=sinA．
（1）求角C的大小；
（2）若cosA=$\frac{2\sqrt{2}}{3}$，求边b的长．

Answer 1

分析 （1）已知等式利用正弦定理及两角和与差的正弦函数公式化简，整理求出tanC的值，即可确定出C的度数；
（2）由cosA的值求出sinA的值，利用两角和与差的正弦函数公式化简sin（A+C），把各自的值代入求出sin（A+C）的值，即为sinB的值，再由c，sinC的值，利用正弦定理求出b的值即可．

解答 解：（1）由题意得sinC（cosB-$\sqrt{3}$sinB）=sinA，
整理得：sinCcosB-$\sqrt{3}$sinBsinC=sinA=sin（B+C）=sinBcosC+sinCcosB，即-$\sqrt{3}$sinBsinC=sinBcosC，
∵sinB≠0，∴tanC=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∵C为三角形内角，
∴C=$\frac{5π}{6}$；
（2）∵cosA=$\frac{2\sqrt{2}}{3}$，∴sinA=$\sqrt{1-co{s}^{2}A}$=$\frac{1}{3}$，
∴sinB=sin（A+C）=sinAcosC+cosAsinC=$\frac{1}{3}$×（-$\frac{\sqrt{3}}{2}$）+$\frac{2\sqrt{2}}{3}$×$\frac{1}{2}$=$\frac{2\sqrt{2}-\sqrt{3}}{6}$，
由正弦定理得：$\frac{b}{sinB}$=$\frac{c}{sinC}$，
则b=$\frac{csinB}{sinC}$=$\frac{4\sqrt{2}-2\sqrt{3}}{3}$．

点评 此题考查了正弦定理，两角和与差的正弦函数公式，以及诱导公式，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．