Question

3．已知函数f（x）=cos（2x+$\frac{π}{3}$）+cos（2x+$\frac{2}{3}π$），g（x）=cos2x．
（Ⅰ）若$α∈（\frac{π}{4}，\frac{π}{2}）$，且f（α）=-$\frac{3}{5}\sqrt{3}$，求g（α）的值；
（Ⅱ）若x$∈[-\frac{π}{6}，\frac{π}{3}]$，求f（x）+g（x）的最大值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由余弦的和差公式，化简得到f（x），再代入，根据角的范围，即可求出g（α）的值，
（Ⅱ）化简f（x）+g（x）=2cos（2x+$\frac{π}{3}$），根据余弦函数的单调性即可求出最值．

解答 解：（Ⅰ）由$f（x）=cos（2x+\frac{π}{3}）+cos（2x+\frac{2}{3}π）$
得f（x）=$\frac{1}{2}cos2x-\frac{{\sqrt{3}}}{2}sin2x-\frac{1}{2}cos2x-\frac{{\sqrt{3}}}{2}sin2x$=$-\sqrt{3}sin2x$．
因为$f（α）=-\frac{3}{5}\sqrt{3}$，即$-\sqrt{3}sin2α=-\frac{3}{5}\sqrt{3}$，
所以$sin2α=\frac{3}{5}$．
又因为$α∈（\frac{π}{4}，\frac{π}{2}）$，
所以$2α∈（\frac{π}{2}，π）$．
故$cos2α=-\frac{4}{5}$，
即$g（α）=-\frac{4}{5}$．
（Ⅱ）f（x）+g（x）=$-\sqrt{3}sin2x+cos2x$=$2cos（2x+\frac{π}{3}）$．
因为x$∈[-\frac{π}{6}，\frac{π}{3}]$，
所以$2x+\frac{π}{3}∈[0，π]$．
所以当$2x+\frac{π}{3}=0$，
即$x=-\frac{π}{6}$时，f（x）+g（x）有最大值，最大值为2．

点评 本题考查了余弦函数的图象和性质，以及三角形函数的和差公式，属于中档题．