Question

10．某商场组织购物抽奖活动，现场准备了两个装有6个球的箱子，小球除颜色外完全相同，A箱中放有3个红球、2个白球、1个黄球，B箱中放有红球、白球和黄球各2个，顾客购物一次可分别从A、B两箱中任取（有放回）一球，当两球同色即中奖，若取出两个黄球得3分，取出两个白球得2分，取出两个红球得1分，当两球异色时未中奖得0分，商场根据顾客所得分数多少给予不同奖励．
（Ⅰ）求某顾客购物一次中奖的概率；
（Ⅱ）某顾客先后2次参与购物抽奖，其得分之和为ξ，求ξ的分布列及期望Eξ．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用两球同色即中奖，即可求某顾客购物一次中奖的概率；
（Ⅱ）某顾客先后2次参与购物抽奖，其得分之和为ξ，确定其取值，求出相应的概率，即可求ξ的分布列及期望Eξ．

解答 解：（Ⅰ）由题意，P（A取红球）=$\frac{1}{2}$，P（A取白球）=$\frac{1}{3}$，P（A取黄球）=$\frac{1}{6}$，P（B取红球）=$\frac{1}{3}$，P（B取白球）=$\frac{1}{3}$，P（B取黄球）=$\frac{1}{3}$，
∴顾客购物一次中奖的概率为$\frac{1}{2}×\frac{1}{3}+\frac{1}{3}×\frac{1}{3}+\frac{1}{6}×\frac{1}{3}$=$\frac{1}{3}$；
（Ⅱ）ξ的取值为0，1，2，3，4，5，6，则
令η表示顾客1次参与购物抽奖的得分，则P（η=0）=$\frac{2}{3}$，P（η=1）=$\frac{1}{6}$，P（η=2）=$\frac{1}{9}$，P（η=3）=$\frac{1}{18}$．
P（ξ=0）=$（\frac{2}{3}）^{2}$=$\frac{4}{9}$，P（ξ=1）=2×$\frac{2}{3}×\frac{1}{6}$=$\frac{2}{9}$，P（ξ=2）=2×$\frac{2}{3}×\frac{1}{9}$+$（\frac{1}{6}）^{2}$=$\frac{19}{108}$，
P（ξ=3）=2×$\frac{1}{6}×\frac{1}{9}$+2×$\frac{2}{3}×\frac{1}{18}$=$\frac{1}{9}$，P（ξ=4）=2×$\frac{1}{6}×\frac{1}{18}$+$（\frac{1}{9}）^{2}$=$\frac{5}{162}$，
P（ξ=5）=$2×\frac{1}{9}×\frac{1}{18}$=$\frac{1}{81}$，P（ξ=6）=$（\frac{1}{18}）^{2}$=$\frac{1}{324}$．
ξ的分布列如下表：

ξ	0	1	2	3	4	5	6
P	$\frac{4}{9}$	$\frac{2}{9}$	$\frac{19}{108}$	$\frac{1}{9}$	$\frac{5}{162}$	$\frac{1}{81}$	$\frac{1}{324}$

Eξ=0×$\frac{4}{9}$+1×$\frac{2}{9}$+2×$\frac{19}{108}$+3×$\frac{1}{9}$+4×$\frac{5}{162}$+5×$\frac{1}{81}$+6×$\frac{1}{324}$=$\frac{10}{9}$．

点评 本题考查离散型随机变量的分布列和数学期望，是中档题，历年高考中都是必考题型．