Question

1．已知函数f（x）=x²+2ax+2，求f（x）在[-5，5]上的最大值f（x）_max=$\left\{\begin{array}{l}{27+10a，a＞0}\\{27-10a，a≤0}\end{array}\right.$．

Answer 1

分析 由于二次函数的对称轴为x=-a，分①当-a＜-5、②当-5≤-a＜0、③当0≤-a≤5、④当-a＞5四种情况，分别利用二次函数的性质求得函数的最值

解答 解：∵函数f（x）=x²+2ax+2=（x+a）²+2-a² 的对称轴为x=-a，
①当-a＜-5，即a＞5时，函数y在[-5，5]上是增函数，
当x=5时，函数y取得最大值为27+10a．
②当-5≤-a＜0，即0＜a≤5时，当x=5时，函数y取得最大值为27+10a．
③当0≤-a≤5，即-5≤a≤0时，x=-a时，当x=-5时，函数y取得最大值为27-10a．
④当-a＞5，即a＜-5时，函数y在[-5，5]上是减函数，故当x=-5时，函数y取得最大值为27-10a；
∴f（x）_max=$\left\{\begin{array}{l}{27+10a，a＞0}\\{27-10a，a≤0}\end{array}\right.$，
故答案为：f（x）_max=$\left\{\begin{array}{l}{27+10a，a＞0}\\{27-10a，a≤0}\end{array}\right.$．

点评 本题主要考查求二次函数在闭区间上的最值，二次函数的性质的应用，体现了分类讨论的数学思想，属于中档题．