Question

20．如图，在四棱锥PABCD中，四边形ABCD为平行四边形，且BC⊥平面PAB，PA⊥AB，M为PB的中点，PA=AD=2．若AB=1，则二面角BACM的余弦值为（　　）

• A． $\frac{\sqrt{6}}{6}$
• B． $\frac{\sqrt{3}}{6}$
• C． $\frac{\sqrt{2}}{6}$
• D． $\frac{1}{6}$

Answer 1

分析 建立空间坐标系，利用向量法求出平面的法向量，即可求出二面角的大小．

解答 解：∵BC⊥平面PAB，AD∥BC，
∴AD⊥平面PAB，PA⊥AD，
又PA⊥AB，且AD∩AB=A，
∴PA⊥平面ABCD．
以点A为坐标原点，分别以AD，AB，AP所在直线为x轴，y轴，z轴，
建立空间直角坐标系Axyz．则A（0，0，0），C（2，1，0），P（0，0，2），B（0，1，0），
M（0，$\frac{1}{2}$，1），
设平面AMC的法向量为$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），$\overrightarrow{AC}$=（2，1，0），$\overrightarrow{AM}$=（0，$\frac{1}{2}$，1），
∵$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AC}=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AM}=0}\end{array}\right.$，∴$\left\{\begin{array}{l}{2x+y=0}\\{\frac{1}{2}y+z=0}\end{array}\right.$，
令x=1，则y=-2，z=1，可得平面AMC的一个法向量为$\overrightarrow{n}$=（1，-2，1），
又平面ABC的一个法向量$\overrightarrow{AP}$=（0，0，2），
∴cos＜$\overrightarrow{n}$，$\overrightarrow{AP}$＞=$\frac{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AP}}{|\overrightarrow{n}||\overrightarrow{AP}|}$=$\frac{2}{\sqrt{1+4+1}•2}$=$\frac{1}{\sqrt{6}}$=$\frac{\sqrt{6}}{6}$．
∴二面角B-AC-M的余弦值为$\frac{\sqrt{6}}{6}$．

点评 本题主要考查二面角的求解，建立坐标系，利用向量法是解决二面角的基本方法．