Question

12．已知f（x）=|x-1|-|x+3|．
（1）解不等式f（x）≤2；
（2）若f（x）-a≥0恒成立，求a的取值范围．
（3）若f（x）-a≥0有解，求a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）由条件利用绝对值的意义求得不等式f（x）≤2的解集．
（2）由题意根据f（x）的最小值为-4，可得-4-a≥0，由此求得a的范围．
（3）由题意根据f（x）的最大值为4，可得4-a≥0，由此求得a的范围．

解答 解：（1）函数f（x）=|x-1|-|x+3|表示数轴上的x对应点到1对应点的距离减去它到-3对应点的距离，
而-2对应点到1对应点的距离减去它到-3对应点的距离正好等于2，
故不等式f（x）≤2的解集为{x|x≤2}．
（2）若f（x）-a≥0恒成立，由于f（x）的最小值为-4，故有-4-a≥0，∴a≤-4．
（3）若f（x）-a≥0有解，由于f（x）的最大值为4，故有4-a≥0，求得a≤4．

点评 本题主要考查绝对值的意义，函数的恒成立问题、函数的能成立问题，解绝对值不等式，求函数的最值，属于基础题．