Question

20．如图1，在直角梯形ABCD中，∠A=∠B=90°，AD=2，BC=3，EF∥AB，且AE=1，M，N分别是FC，CD的中点．将梯形ABCD沿EF折起，使得BM=1，连接AD，BC，AC得到（图2）所示几何体．

（Ⅰ）证明：BC⊥平面ABFE；
（Ⅱ）证明：AF∥平面BMN．

Answer 1

分析 （Ⅰ）只要证明BC与平面ABFE内的AB，BF垂直即可；
（Ⅱ）连接DF，只要证明DF∥MN，AD∥BM，两腰两个平面平行的判定定理可得．

解答 证明：（Ⅰ）由已知得到BF=BM=F=，∴∠BFC=60°，由余弦定理得到BC=$\sqrt{3}$，∴BC²+BF²=FC²，∴BC⊥FB，
又AB⊥BC，∴BC⊥平面ABFE；
（Ⅱ）连接DF，∵M，N是FC，CD的中点，∴MN∥DF，
∵DE∥FC，AE∥FB，
∴平面AED∥平面BFM，并且，∠A=∠B=90°，EF∥AB，
∴几何体AED-BFM是正三棱柱，∴AB∥DM∴AD∥BM，
∴平面ADF∥平面BMN．
又AF?平面ADF，
∴AF∥平面BMN．

点评 本题考查了线面垂直和线面平行的判定定理和性质定理的运用；关键是熟练掌握定理成立的条件，正确运用．