Question

10．如图，在四棱柱P-ABCD中，底面是边长为2的正方形，侧棱PA⊥底面ABCD，PA=2，M，N分别为AD，BC的中点．
（1）求证：平面PMN⊥平面PAD
（2）求PM与平面PCD所成角的正弦值．

Answer 1

分析 （1）证明MN⊥平面PAD，即可证明平面PMN⊥平面PAD
（2）过M作MO⊥平面PCD，连接PO，则∠MPO即为所求，利用V_M-PCD=V_P-MCD，求出OM，即可求PM与平面PCD所成角的正弦值．

解答 （1）证明：∵PA⊥面ABCD，
∴PA⊥MN，PA⊥AB，
∵M、N分别为AD、BC中点，
∴AB∥MN，
∵AB⊥AD，AD∩MN=M，
∴AB⊥平面PAD，
∵AB∥MN，
∴MN⊥平面PAD，
∵MN?平面PMN，
∴平面PMN⊥平面PAD---------（5分）
（2）解：过M作MO⊥平面PCD，连接PO，则∠MPO即为所求．
∵V_M-PCD=V_P-MCD，
∴$\frac{1}{2}×2×2\sqrt{2}×OM$=$\frac{1}{2}×1×2×2$，
∴OM=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴sin∠MPO=$\frac{\frac{\sqrt{2}}{2}}{\sqrt{5}}$=$\frac{\sqrt{10}}{10}$---------（12分）

点评 本题考查平面与平面、直线与平面垂直的判定，考查线面角，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．