Question

15．如图，四棱锥P-ABCD的底面是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，点E是棱PB的中点．
（Ⅰ）求证：AC⊥PB
（Ⅱ）若PD=2，AB=$\sqrt{2}$，求直线AE和平面PDB所成的角．

Answer 1

分析 （Ⅰ）判断AC⊥面PBD，再运用直线垂直直线，直线垂直平面问题证明．
（II）根据题意得出AC⊥面PBD，运用直线与平面所成的角得出∴∠AEO直线AE和平面PDB所成的角
利用直角三角形求解即可．

解答 证明：（Ⅰ）∵四棱锥P-ABCD的底面是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，
∴PD⊥AC，AC⊥BD，
∵PD∩DB=D，
∴AC⊥面PBD，
∵PB?面PBD，
∴AC⊥PB．
（Ⅱ）连接EO，
∵点E是棱PB的中点，O为DB中点，
∴OE∥PD，
∵PD=2
∴OE=1
∵AC⊥面PBD，
∴∠AEO直线AE和平面PDB所成的角
∵底面ABCD是正方形，AB=$\sqrt{2}$，
∴AC=2，AO=1，
∴Rt△AEO中∠AEO=45°
即直线AE和平面PDB所成的角45°

点评 本题考查了棱锥的几何性质，直线与平面角的概念及求解，考查学生的空间思维能力，运用平面问题解决空间问题的能力．