Question

4．已知向量$\overrightarrow{m}$=（2cosx，sinx），$\overrightarrow{n}$=（cosx，2$\sqrt{3}$cosx）（x∈R），设函数f（x）=$\overrightarrow{m}$$•\overrightarrow{n}$-1．
（1）求函数f（x）；
（2）已知锐角△ABC的三个内角分别为A，B，C，若f（A）=2，B=$\frac{π}{4}$，边AB=3，求边BC的长．

Answer 1

分析 （1）利用向量的数量积坐标运算得到f（x），进一步化简得到解析式；
（2）由（1）得到关于A的方程，解得A，结合已知，求得C，

解答 解：（1）f（x）=$\overrightarrow{m}$$•\overrightarrow{n}$-1=2cos²x+2$\sqrt{3}$sinxcosx-1=cos2x$+\sqrt{3}$sin2x=2（$\frac{1}{2}$cos2x+$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2x）=2cos（2x-$\frac{π}{3}$）．
（2）若f（A）=2，则f（A）=2cos（2A-$\frac{π}{3}$）=2，
即cos（2A-$\frac{π}{3}$）=1，则2A-$\frac{π}{3}$=0，解得A=$\frac{π}{6}$，
∵B=$\frac{π}{4}$，边AB=3，
∴C=π-$\frac{π}{6}$-$\frac{π}{4}$=$\frac{7π}{12}$，sin$\frac{7π}{12}$=$\frac{\sqrt{2}+\sqrt{6}}{4}$，
由正弦定理$\frac{BC}{sinA}=\frac{AB}{sinC}$所以$\frac{BC}{sin\frac{π}{6}}=\frac{3}{sin\frac{7π}{12}}$，解得BC=$\frac{3（\sqrt{6}-\sqrt{2}）}{2}$．

点评 本题考查了向量的数量积坐标运算以及三角函数的恒等变形、利用正弦定理解三角形；计算稍繁，注意细心．