Question

12．从某中学1000名学生中随机抽取m名学生进行问卷调查．根据问卷取得了这m名学生星期日运动锻炼时间（单位：分钟）的数据频率分布直方图，如图，已知抽取的学生中星期日运动时间少于60分钟的人数为5人
（Ⅰ）求m的值并求星期日运动时间在[90，120]内的概率
（Ⅱ）若在第一组，第二组，第七组，第八组中共抽取3人调查影响星期日运动时间的原因，记抽到的“星期日运动时间少于60分钟”的学生人数为ξ，求ξ的分布列及期望．

Answer 1

分析 （Ⅰ）抽取的m名学生中星期日运动时间少于60分钟的概率为：（$\frac{1}{750}$+$\frac{1}{3000}$）×30=$\frac{1}{20}$，由此能够求出m的值并求出星期日运动时间在[90，120]内的概率．
（Ⅱ）由题设ξ的所有可能取值为0，1，2，3，分别求出其概率，能够得到ξ的分布列和Eξ．

解答 解：（Ⅰ）抽取的m名学生中星期日运动时间少于60分钟的概率为：（$\frac{1}{750}$+$\frac{1}{3000}$）×30=$\frac{1}{20}$，
∴m×$\frac{1}{20}$=5，
∴m=100
∴星期日运动时间在[90，120]内的概率为1-（$\frac{1}{3000}$+$\frac{1}{750}$+$\frac{1}{300}$+$\frac{1}{100}$+$\frac{1}{200}$+$\frac{1}{300}$+$\frac{1}{600}$）×30=$\frac{1}{4}$；
（Ⅱ）由图知：第一组1人，第二组4人，第七组10人，第八组5人，总计20人．
则ξ的所有可能取值为0，1，2，3，P（ξ=i）=$\frac{{C}_{5}^{i}{C}_{15}^{3-i}}{{C}_{20}^{3}}$，（i=0，1，2，3），
ξ的分布列为：

ξ	0	1	2	3
P	$\frac{91}{228}$	$\frac{35}{76}$	$\frac{5}{38}$	$\frac{1}{114}$

EX=0×$\frac{91}{228}$+1×$\frac{35}{76}$+2×$\frac{5}{38}$+3×$\frac{1}{114}$=$\frac{3}{4}$．

点评 本题考查了频率分布直方图的应用问题，考查了离散型随机事件的分布列与数学期望的计算问题，考查了计算能力的应用问题，是综合性题目．