Question

20．正四棱锥P-ABCD的底边及侧棱长都是2，M，N分别为底边CD，CB上的动点，且CM=CN，当四面体P-AMN的体积最大时，直线PA与面PMN的所成角的大小是45°．

Answer 1

分析 由题意画出图形，设CM=CN=x，把四面体P-AMN的底面的面积的平方用含有x的代数式表示，求导得到使底面积最大的x值，再由高一定可得体积最大，由此求出体积最大时直线PA与面PMN的所成角的大小．

解答 解：如图，

设CM=CN=x，则DM=1-x，MN=$\sqrt{2}x$，
AM²=4+（2-x）²=8-4x+x²，$A{G}^{2}=A{M}^{2}-M{G}^{2}=8-4x+{x}^{2}-\frac{1}{2}{x}^{2}$=$\frac{1}{2}{x}^{2}-4x+8$．
${{S}_{△AMN}}^{2}=\frac{1}{4}（\sqrt{2}x）^{2}•（\frac{1}{2}{x}^{2}-4x+8）$=$\frac{1}{4}{x}^{4}-2{x}^{3}+4{x}^{2}$．
令f（x）=$\frac{1}{4}{x}^{4}-2{x}^{3}+4{x}^{2}$，则f′（x）=x³-6x²+8x，
由f′（x）=0，得x=2或x=4（舍），
∴当x=2时，${{S}_{△AMN}}^{2}$有最大值，即S_△AMN有最大值，四面体P-AMN的体积最大．
此时M与D重合，N与B重合，由△BAD≌△DPB，可得直线PA与面PMN的所成角的大小是45°．
故答案为：45°．

点评 本题考查了空间角的求法，考查了利用导数求函数的最值，考查学生灵活处理问题的能力，是中档题．