Question

11．P是直角△ABC所在平面外一点，若PA⊥平面ABC，PA=AB=AC，则平面PBC和平面ABC夹角的正切值是（　　）

• A． 1
• B． $\sqrt{2}$
• C． $\frac{{\sqrt{2}}}{2}$
• D． 2$\sqrt{2}$

Answer 1

分析 过点A作BC边上的高AD交BC于点D，连结PD．则∠PDA即为平面PBC和平面ABC夹角的平面角，利用勾股定理及三角形面积的不同计算方法即得结论．

解答 解：过点A作BC边上的高AD交BC于点D，连结PD．
根据题意可得∠PDA即为平面PBC和平面ABC夹角的平面角，
设PA=AB=AC=a，则BC=$\sqrt{A{C}^{2}+A{B}^{2}}$=$\sqrt{2}$a，
∵$\frac{1}{2}$AD•BC=$\frac{1}{2}$AB•AC，
∴AD=$\frac{AB•AC}{BC}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$a，
∴tan∠PDA=$\frac{PA}{AD}$=$\frac{a}{\frac{\sqrt{2}a}{2}}$=$\sqrt{2}$，
故选：B．

点评 本题考查求二面角的三角函数值，涉及到勾股定理、三角形的面积计算公式等知识，注意解题方法的积累，属于中档题．